![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Основные понятия
- •Скалярное произведение векторов и его свойства
- •7.1. Определение векторного произведения
- •7.2. Свойства векторного произведения
- •7.3. Выражение векторного произведения через координаты
- •7.4. Некоторые приложения векторного произведения
- •Смешанное произведение трех векторов и его свойства
- •Краткий конспект лекции 13
- •Глава 5. Элементарная теория линейных операторов (продолжение)
- •5.3. Сопряженный оператор
- •5.3.1. Сопряженный оператор и его матрица
- •5.3.2. Самосопряженный оператор
- •5.3.3. Собственные значения и собственные векторы самосопряженного оператора
- •5.3.4. Приведение матрицы линейного оператора к диагональной форме
- •Теорема Ролля
- •2. Теорема Лагранжа
- •3. Теорема Коши
- •4. Правило Лопиталя
- •Первый замечательный предел
- •Формула Тейлора
- •Достаточные признаки возрастания и убывания функции.
- •Достаточные признаки экстремума функции.
- •Производная по направлению и градиент функции нескольких переменных
Первый замечательный предел
Доказательство
Рассмотрим
односторонние пределы
и
и
докажем, что они равны 1.
Пусть
.
Отложим этот угол на единичной окружности
(R
= 1).
Точка K — точка пересечения луча с окружностью, а точка L — с касательной к единичной окружности в точке (1;0). Точка H — проекция точки K на ось OX.
Очевидно, что:
(1)
(где SsectOKA — площадь сектора OKA)
(из
:
|
LA
| = tgx)
Подставляя в (1), получим:
Так
как при
:
Умножаем на sinx:
Перейдём к пределу:
Найдём левый односторонний предел:
Правый и левый односторонний пределы существуют и равны 1, а значит и сам предел равен 1.
Следствия
Вторым замечательным пределом называется предел
Следствия
для
,
#47
Формула Тейлора
Формула Тейлора используется при доказательстве большого числа теорем в дифференциальном исчислении. Говоря нестрого, формула Тейлора показывает поведение функции в окрестности некоторой точки.
Теорема:
-
Пусть функция f(x) имеет n + 1 производную в некоторой окрестности точки a,
Пусть
Пусть p — произвольное положительное число,
тогда:
точка
при x < a или
при x > a:
#48
Экспонента:
Натуральный логарифм:
для
всех
В частности:
Квадратный корень:
для
всех
для
всех | x
| < 1
Тригонометрические функции:
для
всех
где
B2n —
Числа
Бернулли
для
всех
для
всех
#49
Достаточные признаки возрастания и убывания функции.
На основании достаточных признаков находятся промежутки возрастания и убывания функции. Вот формулировки признаков:
если производная функции y = f(x) положительна для любого x из интервала X, то функция возрастает на X;
если производная функции y = f(x) отрицательна для любого x из интервала X, то функция убывает на X.
Таким образом, чтобы определить промежутки возрастания и убывания функции необходимо:
найти область определения функции;
найти производную функции;
решить неравенства
и
на области определения;
к полученным промежуткам добавить граничные точки, в которых функция определена и непрерывна.
Достаточные признаки экстремума функции.
Для
нахождения максимумов и минимумов
функции можно пользоваться любым из
трех достаточных признаков экстремума.
Хотя самым распространенным и удобным
является первый из них.
Первое
достаточное условие экстремума.
Пусть
функция y
= f(x)
дифференцируема в
-окрестности
точки
,
а в самой точке
непрерывна.
Тогда
если при
и при
, то - точка максимума;
если при и при , то - точка минимума.
Другими словами:
если в точке функция непрерывна и в ней производная меняет знак с плюса на минус, то - точка максимума;
если в точке функция непрерывна и в ней производная меняет знак с минуса на плюс, то - точка минимума.
Алгоритм.
Находим область определения функции.
Находим производную функции на области определения.
Определяем нули числителя, нули знаменателя производной и точки области определения, в которых производная не существует (эти точки называют точками возможного экстремума, проходя через эти точки, производная как раз может изменять свой знак).
Эти точки разбивают область определения функции на промежутки, в которых производная сохраняет знак. Определяем знаки производной на каждом из интервалов (например, вычисляя значение производной функции в любой точке отдельно взятого интервала).
Выбираем точки, в которых функция непрерывна и, проходя через которые, производная меняет знак.
Второй
достаточный признак экстремума
функции.
Пусть
,
если
, то - точка минимума;
если
, то - точка максимума.
Третий
достаточный признак экстремума
функции.
Пусть
функция y
= f(x)
имеет производные до n-ого
порядка в
-окрестности
точки
и
производные до n+1-ого
порядка в самой точке
.
Пусть
и
.
Тогда,
если n – четное, то - точка перегиба;
если n – нечетное, то - точка экстремума.
Причем,
если
, то - точка минимума;
если
, то - точка максимума.
Сформулируем
теорему, которая позволяет определять
промежутки выпуклости функции.
Если
функция y
= f(x)
имеет конечную вторую производную на
интервале Х
и если выполняется неравенство
(
),
то график функции имеет выпуклость
направленную вниз (вверх) на Х.
Сформулируем
необходимое
условие перегиба
графика функции.
Пусть
график функции y
= f(x)
имеет перегиб в точке
и
имеет при
непрерывную
вторую производную, тогда выполняется
равенство
.
Второе
достаточное условие перегиба графика
функции.
Если
,
а
,
тогда
является
абсциссой точки перегиба графика функции
y
= f(x).
№54