![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Основные понятия
- •Скалярное произведение векторов и его свойства
- •7.1. Определение векторного произведения
- •7.2. Свойства векторного произведения
- •7.3. Выражение векторного произведения через координаты
- •7.4. Некоторые приложения векторного произведения
- •Смешанное произведение трех векторов и его свойства
- •Краткий конспект лекции 13
- •Глава 5. Элементарная теория линейных операторов (продолжение)
- •5.3. Сопряженный оператор
- •5.3.1. Сопряженный оператор и его матрица
- •5.3.2. Самосопряженный оператор
- •5.3.3. Собственные значения и собственные векторы самосопряженного оператора
- •5.3.4. Приведение матрицы линейного оператора к диагональной форме
- •Теорема Ролля
- •2. Теорема Лагранжа
- •3. Теорема Коши
- •4. Правило Лопиталя
- •Первый замечательный предел
- •Формула Тейлора
- •Достаточные признаки возрастания и убывания функции.
- •Достаточные признаки экстремума функции.
- •Производная по направлению и градиент функции нескольких переменных
Скалярное произведение векторов и его свойства
М
ы
рассмотрели умножение вектора на число.
Однако во многих задачах механики и
физики встречается операция умножения
вектора на вектор. Но при этом результат
может быть как числом, так и вектором.
Поэтому рассматривают два вида умножения
векторов: скалярное и векторное.
Пусть
даны два вектора
и
,
угол между, которыми равен
.
Скалярным
произведением
векторов
и
называется
число, равное произведению длин этих
векторов на косинус угла между ними.
Скалярное произведение обозначается
.
Итак,
.
Если один из векторов нулевой, то угол не определен, и скалярное произведение по определения считается равным нулю.
Рассмотрим свойства скалярного произведения.
Скалярное произведение двух векторов подчиняется коммутативному закону, т.е. для любых векторов и
.
Очевидно, из определения скалярного произведения:
.
Для любого числа λ и любых векторов
имеем:
.
Доказательство.
Ограничимся случаем, когда λ
> 0. В этом случае
угол между векторами
и
совпадает
с углом между векторами
и
,
.
Поэтому
.
Откуда
Аналогично
доказывается и равенство
.
Случай λ <0 рассмотреть самостоятельно.
Для любых векторов
выполняется равенство
.
Доказательство. Используя определение скалярного произведения и свойства проекций вектора на ось, будем иметь
Для любого вектора выполняется соотношение
.
Действительно,
так как
,
то
.
Из
этого свойства в частности следует
.
Скалярное произведение двух векторов равно нулю тогда и только тогда,когда равен нулю один из сомножителей или векторы перпендикулярны.
Это свойство очевидно из определения скалярного произведения.
Таким образом, необходимым и достаточным условием ортогональности двух векторов является равенство нулю их скалярного произведения.
Итак,
скалярное произведение векторов равно
сумме произведений соответствующих
координат:
.
Это соотношение позволяет вычислить длину вектора через его координаты:
.
Далее
из определения скалярного произведения
находим
.
Выражая скалярное произведение и длины векторов через их координаты,получим формулу для нахождения косинуса угла между векторами
.
Условие ортогональности двух векторов:
или
.
Т.о., для того чтобы два вектора были перпендикулярны необходимо и достаточно, чтобы сумма произведений соответствующих координат этих векторов была равна нулю.
#12
7.1. Определение векторного произведения
Три некомпланарных вектора a, b и с, взятые в указанном порядке, образуют правую тройку, если с конца третьего вектора с кратчайший поворот от первого вектора а ко второму вектору b виден совершающимся против часовой стрелки, и левую, если по часовой (см. рис. 16).
Векторным произведением вектора а на вектор b называется вектор с, который:
1. Перпендикулярен векторам a и b, т. е. са и сb;
2. Имеет
длину, численно равную площади
параллелограмма, построенного на
векторах а
и b
как на
сторонах (см. рис. 17), т. е.
3.Векторы a, b и с образуют правую тройку.
Векторное произведение обозначается а х b или [а,b]. Из определения векторного произведения непосредственно вытекают следующие соотношения между ортами i , j и k (см. рис. 18):
i х j = k, j х k = i, k х i = j. Докажем, например, что iхj=k.
1) ki, kj;
2) |k|=1, но | i x j| = |i| • |J| • sin(90°)=1;
3) векторы i , j и k образуют правую тройку (см. рис. 16).