2.4 Построение экономико-математических моделей
Для построения ЭММ необходимо построить корреляционное поле, которое будет выражать зависимость между объемом производства продукции и величиной средних переменных издержек в течение краткосрочного периода.
Эта
зависимость определяется как
,
где - средние переменные издержки (на единицу продукции), грн/ед.;
Q – месячный объем производства, тыс. ед.
В зависимости от того, какой вид примет кривая корреляционного поля, можно будет судить о виде зависимости, который может быть представлен следующими уравнениями:
=
a + bQ,
=
a + b/Q,
=
a + bQ + cQ2 ,
где a, b, c – статистические коэффициенты.
Для построения корреляционного поля необходимо определить величину средних переменных издержек .
i
=
,
(2.7)
где i - величина средних переменных издержек в i-м месяце, грн/ед.;
ВИ – величина валовых издержек в i-м месяце, тыс. грн;
Q – объем производства в i-м месяце, тыс. ед.
Расчет средних переменных издержек представлен в таблице 2.2.
Таблица 2.2 - Расчет средних переменных издержек
Месяцы |
Q ,тыс. ед. |
ВИ, тыс. грн. |
ПеИС, грн./ед. |
Январь |
81,6 |
5024,6 |
43,72 |
Февраль |
82,3 |
5064,9 |
43,69 |
Март |
82,8 |
5094,3 |
43,68 |
Апрель |
85,4 |
5254,6 |
43,69 |
Май |
88,8 |
5484,9 |
43,85 |
Июнь |
87,6 |
5400,9 |
43,77 |
Июль |
81,4 |
5013,2 |
43,73 |
Август |
85,0 |
5229,1 |
43,68 |
Сентябрь |
83,5 |
5136,2 |
43,67 |
Октябрь |
88,6 |
5470,7 |
43,84 |
Ноябрь |
84,4 |
5191,4 |
43,67 |
Декабрь |
82,9 |
5100,2 |
43,68 |
На основании полученных данных строим корреляционное поле:
Рисунок 2.3 – Корреляционное поле
Исходя из полученных результатов видно, что уравнение зависимости имеет вид:
y = 0,0081x2 – 1,3614x + 100,87
Причем степень аппроксимации составляет R2 = 1 т.е. максимально возможное значение.
Отсюда видим, что статистические коэффициенты a, b и с соответственно равны:
а = 100,87 b = - 1,3614 с = 0,0081
Зная эти коэффициенты, теперь мы можем рассчитать себестоимость единицы продукции (С), а затем и сами валовые издержки (ВИ).
Модель себестоимости единицы продукции имеет вид:
,
(2.8)
где ПоИС – полные постоянные издержки предприятия за месяц ( их значения принимаются равными величине среднемесячных полных постоянных издержек, рассчитанных ранее), тыс. грн;
Qi – объем производства в i-м месяце, тыс. ед.;
f(Qi) – величина средних переменных издержек в i-м месяце, грн/ед.
Расчет величины средних переменных издержек в i-м месяце осуществляется путем подстановки статистических коэффициентов a, b, с в уравнение
= a + bQ +cQ2
Расчет себестоимости единицы продукции за каждый месяц представлен в таблице 2.3:
Таблица 2.3 - Расчет себестоимости единицы продукции за каждый месяц
Месяцы |
Q, тыс. ед. |
ПоИC, тыс. грн. |
ПеИС, грн./ед. |
C, грн./ед. |
Январь |
81,6 |
17,86 |
43,71 |
43,93 |
Февраль |
82,3 |
17,85 |
43,69 |
43,91 |
Март |
82,8 |
17,84 |
43,68 |
43,89 |
Апрель |
85,4 |
17,84 |
43,68 |
43,89 |
Май |
88,8 |
17,91 |
43,85 |
44,05 |
Июнь |
87,6 |
17,88 |
43,77 |
43,97 |
Июль |
81,4 |
17,86 |
43,72 |
43,94 |
Август |
85,0 |
17,84 |
43,67 |
43,88 |
Сентябрь |
83,5 |
17,84 |
43,67 |
43,88 |
Октябрь |
88,6 |
17,91 |
43,83 |
44,04 |
Ноябрь |
84,4 |
17,84 |
43,67 |
43,88 |
Декабрь |
82,9 |
17,84 |
43,68 |
43,89 |
На основании полученных данных о себестоимости единицы продукции за каждый месяц мы можем определить валовые издержки предприятия (ВИ), которые рассчитываются как произведение себестоимости единицы продукции за месяц на объем производства соответствующего месяца:
ВИ = Сi ´ Qi , (2.9)
где Сi - себестоимости единицы продукции за i-й месяц, грн/ед.;
Q – объем производства за i-й месяц, тыс. ед.
Зная величину валовых издержек по месяцам, а также соответствующий им объем производства, можно определить величину предельных издержек (ПИ), сопоставляя которую с величиной предельного дохода (ПД) определяют оптимальный объем производства, т.е. тот объем, при котором ПИ=ПД.
,
(2.10)
где
-
прирост валовых издержек по сравнению
с предыдущим месяцем, тыс. грн;
- прирост объема
производства по сравнению с предыдущим
месяцем, тыс. ед.
Величина предельного дохода определяется, как отношение прироста дохода к приросту объема производства.
В нашем случае величина предельного дохода равняется цене единицы продукции, т.к.
,
(2.11)
где Ц – цена единицы продукции, грн/ед.;
Q1, Q0 – соответственно объемы производства в текущем и в предыдущем месяцах, тыс. ед.
Расчет ВИ, ПД и ПИ представлен в таблице 2.4:
Таблица 2.4 - Расчет ВИ, ПД и ПИ
Месяцы |
Q, тыс. ед. |
C, грн./ед. |
BИ, тыс. грн. |
ПИ, грн./ед. |
ПД, грн./ед. |
Январь |
81,6 |
43,93 |
5024,6 |
|
64,4 |
Февраль |
82,3 |
43,91 |
5064,9 |
57,57 |
64,4 |
Март |
82,8 |
43,89 |
5094,3 |
58,80 |
64,4 |
Апрель |
85,4 |
43,89 |
5254,6 |
61,65 |
64,4 |
Май |
88,8 |
44,05 |
5484,9 |
67,74 |
64,4 |
Июнь |
87,6 |
43,97 |
5400,9 |
70,00 |
64,4 |
Июль |
81,4 |
43,94 |
5013,2 |
62,53 |
64,4 |
Август |
85,0 |
43,88 |
5229,1 |
135,25 |
64,4 |
Сентябрь |
83,5 |
43,88 |
5136,2 |
61,93 |
64,4 |
Октябрь |
88,6 |
44,04 |
5470,7 |
65,59 |
64,4 |
Ноябрь |
84,4 |
43,88 |
5191,4 |
66,50 |
64,4 |
Декабрь |
82,9 |
43,89 |
5100,2 |
60,80 |
64,4 |
Расчет оптимального объема производства как равенство предельных издержек предельному доходу осуществим, используя теоретические значения объемов производства по месяцам, т.к. мы не можем определить оптимальный объем производства на основании фактических значений объемов производства, потому что, в этом случае, величина предельного дохода превышает величину предельных издержек в течение всего краткосрочного периода. Так как величина предельного дохода превышает величину предельных издержек, то целесообразным является увеличение объема производства, т.к. каждая дополнительная единица продукции будет приносить дополнительную прибыль.
Для проведения дальнейших расчетов нам необходимы соответствующие значения затрат в зависимости от объема производства. Для этого проведем повторный корреляционный анализ.
Рис. 2.4 – зависимость затрат от объемов производства
Исходя из полученных данных можно сказать, что зависимость между Объемом производства и затратами рассчитывается по следующей формуле:
ВИ = 0,9911Q2 – 104,97Q + 6990,9 (2.12)
Расчет оптимального объема производства на основании теоретических значений Q представлен в таблице 2.5.
Таблица 2.5 - Расчет оптимального объема производства
Месяцы |
Q, тыс. ед. |
BИ, тыс. грн. |
ПИ, грн./ед. |
ВД, тыс. грн. |
ПД (Цена), грн./ед. |
ПеИС, грн./ед. |
ВИС, грн. ед. |
Январь |
60,0 |
4260,7 |
|
3864,0 |
64,4 |
43,71 |
71,01 |
Февраль |
65,0 |
4355,2 |
18,92 |
4186,0 |
64,4 |
43,69 |
67,00 |
Март |
70,0 |
4499,4 |
28,83 |
4508,0 |
64,4 |
43,68 |
64,28 |
Апрель |
75,0 |
4693,1 |
38,74 |
4830,0 |
64,4 |
43,68 |
62,57 |
Май |
80,0 |
4936,3 |
48,65 |
5152,0 |
64,4 |
43,85 |
61,70 |
Июнь |
85,0 |
5229,1 |
58,56 |
5474,0 |
64,4 |
43,77 |
61,52 |
Июль |
90,0 |
5571,5 |
68,47 |
5796,0 |
64,4 |
43,72 |
61,91 |
Август |
95,0 |
5963,4 |
78,38 |
6118,0 |
64,4 |
43,67 |
62,77 |
Сентябрь |
100,0 |
6404,9 |
88,29 |
6440,0 |
64,4 |
43,67 |
64,05 |
Октябрь |
105,0 |
6895,9 |
98,21 |
6762,0 |
64,4 |
43,83 |
65,68 |
Ноябрь |
110,0 |
7436,5 |
108,12 |
7084,0 |
64,4 |
43,67 |
67,60 |
Декабрь |
115,0 |
8026,6 |
118,03 |
7406,0 |
64,4 |
43,68 |
69,80 |
На основании данных полученной таблицы построим графики, с помощью которых определим точку безубыточности и оптимальный объем производства:
Рисунок 2.5 - определение точки безубыточности
Рисунок 2.6 - определение оптимального объема производства
Как видно из графика графики ПД и ВИ пересекаются в точке 85,5 тис. ед., при котором достигается оптимальный объем производства.