Вопрос 1

Свойства неопределенного интеграла

1) Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции. Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, т.е. (∫f(x)dx)′=f(x)d∫f(x)dx=f(x)dx

2) Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной, т.е. ∫dF(x)dx=F(x)+C.

3) Постоянный множитель можно выносить из под знака интеграла, т.е. ∫kf(x)dx=k∫f(x)dx,k/=0

4) Неопределенный интеграл от суммы(разности) двух функций равен сумме(разности) интегралов этих функций. ∫[f(x)±g(x)]dx=∫f(x)dx±∫g(x)dx

Распространяется на n слагаемых.

Таблица интегралов основныx элементарныx функций.

1. ∫xαdx=α+1xα+1+C,α/=−1

в частности при α=1:∫xαdx=2x2

2. ∫xdx=ln∣x∣+C

3. ∫dx1+x2=arctg(x)+C

4. ∫dx√1−x2=arcsin(x)+C

5. ∫axdx=axln(a)+c

6. ∫exdx=ex+C

7. ∫sin(x)dx=−cos(x)+C

8. ∫cos(x)dx=sin(x)+C

9. ∫dxcos2(x)=tg(x)+C

10. ∫dxsin2(x)=−ctg(x)+C

11. ∫dxx2−a2=12aln∣x+a∣∣x−a∣+C

12. ∫dx√x2+k=ln∣∣x+√x2+k∣∣+C

13. ∫dxx2+a2=a1arctg(xa)+C

14. ∫dx√a2−x2=arcsin(xa)+C

Билет №14

Вопрос 1

Пусть требуется найти интеграл , где функция непрерывна на некотором интервале . Сделаем замену переменной в подынтегральном выражении, положив , где - функция непрерывно дифференцируемая на некотором интервале T и имеющая обратную функцию

(1)

определенную на . Так как , получим

то есть, вычисление исходного интеграла сводится к вычислению

интеграла , стоящего в правой части равенства (2.). По окончании вычислений необходимо вернуться к переменной , пользуясь равенством (1).

Билет №15

Вопрос 1

  Метод интегрирования по частям. Этот метод основан на формуле  .

Методом интегрирования по частям берут такие интегралы:

а)  , где  ;

б)  , где  ;

в)  , где  ;

г)  , где  .

При вычислении интегралов а) и б) вводят обозначения: ,

тогда  , а, например  ,тогда  .

При вычислении интегралов в), г) и подобных им обозначают за   функцию  ,  , а за  берут  .

Билет №16

Вопрос 1

Понятие определенного интеграла.

Пусть функция y=f(x) определена на [a;b]

1) [a;b] произвольным образом разобьем на n частей точками. x0< x1< x2 меньше и так далеее меньше xn

[xk-1; xk] - частичные промежутки.

2) Для всех [xk-1; xk] произвольным образом выберем точку пси к.

3) - интегральная сумма для определенного интеграла.

4) max xk= . Разбиение [a;b] назовем основным, если 0.

Определение 1.

Определенным интегралом функции y=f(x) заданной на отрезке [a;b] называется предел интегральной суммы сигма при лямде, стремящейся к 0, если этот предел существует и конечен.

Обозначение определенного интеграла:  (2)

Свойства определенного интеграла.

[1]

Предел в формуле (2) не зависит от обозначения переменной при вычислении интеграла.

[2] 

[3] 

[4] 

[5] Свойство аддитивности 

Билет №17