Вопрос 1
Функция f(x) называется возрастающей в интервале (a,b), если при возрастании аргумента x в этом интервале соответствующие значения функции f(x) также возрастают, т.е. если
f(x2) > f(x1) при x2 > x1.
Функция f (x) называется убывающей в интервале ( a, b ) если при возрастании аргумента x в этом интервале соответствующие значения функции f (x) убывают, т.е. если
f(x2) < f(x1) при x2 > x1.
Билет №9
Вопрос 1
Экстре́мум (лат. extremum — крайний) в математике — максимальное или минимальное значение функции на заданном множестве. Точка, в которой достигается экстремум, называется точкой экстремума. Соответственно, если достигается минимум — точка экстремума называется точкой минимума, а если максимум — точкой максимума. В математическом анализе выделяют также понятие локальный экстремум (соответственно минимум или максимум).
Билет №10
Вопрос 1
Функция f ( x ) называется выпуклой на интервале ( a, b ), если её график на этом интервале лежит ниже касательной, проведенной к кривой y = f ( x ) в любой точке ( x0 , f ( x0 ) ), x0 ( a, b ).
Функция f ( x ) называется вогнутой на интервале ( a, b ), если её график на этом интервале лежит выше касательной, проведенной к кривой y = f ( x ) в любой точке ( x0 , f ( x0 ) ), x0 ( a, b ).
Достаточное условие вогнутости ( выпуклости ) функции.
Пусть функция f ( x ) дважды дифференцируема ( имеет вторую производную ) на интервале ( a, b ), тогда:
если f '' ( x ) > 0 для любого x ( a, b ), то функция f ( x ) является вогнутой на интервале ( a, b );
если f '' ( x ) < 0 для любого x ( a, b ), то функция f ( x ) является выпуклой на интервале ( a, b ) .
Точка, при переходе через которую функция меняет выпуклость на вогнутость или наоборот, называется точкой перегиба. Отсюда следует, что если в точке перегиба x0 существует вторая производная f '' ( x0 ), то f '' ( x0 ) = 0.
Билет №11
Вопрос 1
При решении этой задачи находят:
1) область определения функции;
2) точки разрыва и исследуют поведение функции в граничных точках области определения;
3) находят нули функции и промежутки ее знакопостоянства;
4) находят асимптоты;
5) критические точки и интервалы монотонности;
6) точки перегиба и интервалы выпуклости.
Замечание. Если функция f(x) четная, т.е. f(x) = f(–x), или нечетная, т.е. f(x) = – f(–x), то исследование функции достаточно провести для x³0, а затем по свойству четности или нечетности построить график при x<0.
Завершают исследование функции построением ее графика.
Билет №12
Вопрос 1
Первообразная. Непрерывная функция F ( x ) называется первообразной для функции f ( x ) на промежутке X , если для каждого
F’ ( x ) = f ( x ).
Неопределённый интеграл функции f ( x ) на промежутке X есть множество всех её первообразных. Это записывается в виде:
где C – любая постоянная, называемая постоянной интегрирования
Билет №13