Вопрос 1

Теорема 1. Предел постоянной равен самой постоянной.

Теорема 2. Функция не может иметь двух различных пределов в одной точке.

Теорема 3. Если каждое слагаемое алгебраической суммы функций имеет предел при , то и алгебраическая сумма имеет предел при , причем предел алгебраической суммы равен алгебраической сумме пределов.

.

Теорема 4. Если каждый из сомножителей произведения конечного числа функций имеет предел при , то и произведение имеет предел при , причем предел произведения равен произведению пределов.

Теорема 5. Если функции f(x) и g(x) имеют предел при ,

причем , то и их частное имеет предел при , причем предел частного равен частному пределов.

Признаки существования предела:

1. Если   и  , то 

2. Монотонная и ограниченная последовательность имеет предел.

3. Числовая последовательность (x_n) имеет конечный предел тогда и только тогда, когда

Билет №4

Вопрос 1

Замеча́тельные преде́лы — математические тождества со взятием предела. Особенно известны:

Первый замечательный предел:

Второй замечательный предел:

Билет №5

Вопрос 1

Произво́дная (функции в точке) — основное понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции (в данной точке). Определяется как предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если такой предел существует. Функцию, имеющую конечную производную (в некоторой точке), называют дифференцируемой (в данной точке). Процесс вычисления производной называется дифференци́рованием. Обратный процесс — интегрирование.

Связь между непрерывностью и дифференцируемостью функции. Если функция f ( x ) дифференцируема в некоторой точке, то она непрерывна в этой точке. Обратное неверно: непрерывная функция может не иметь производной. Если функция разрывна в некоторой точке, то она не имеет производной в этой точке.

Билет №6

Вопрос 1

Правило вычисления производных

Если функции f и g имеют конечные производные при , то:

1) - постоянные;

2) ;

3) .

Основные правила дифференцирования

1. 

2. (справедлива для любого конечного числа слагаемых).

3. .

4. .

а) .

б) .

Билет №7

Вопрос 1

Основные теоремы дифференциального исчисления

Кольцо непрерывных на [a,b] и гладких на (a,b) функций обладает рядом важных свойств:

• Теорема Ролля: если f(a) = f(b) = 0, то имеется точка максимума или минимума, в которой f' обращается в нуль.

• Теорема Лагранжа: существует такая точка , что

• Теорема Коши: если на (a,b), то существует такая точка , что

Правило Лопиталя

В математическом анализе правилом Лопита́ля называют метод нахождения пределов функций, раскрывающий неопределённости вида 0 / 0 и . Обосновывающая метод теорема утверждает, что при некоторых условиях предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

Правило говорит, что если функции f(x) и g(x) обладают следующим набором условий:

1. или ;

2. ;

3. в некоторой окрестности точки a,

тогда существует . При этом теорема верна и для других баз (для указанной будет приведено доказательство).

Билет №8