2. Основное неравенство фильтров.

Получим условие, определяющее полосу пропускания фильтра – так называемое основное неравенство фильтра.

Уравнения формы А симметричного четырехполюсника в гиперболической форме имеют вид:

Коэффициент .

Результат получен, исходя из выражений:

Получим коэффициент А₁₁ по опытам холостого хода и короткого замыкания для Т- и П-образной схемы фильтра.

При холостом ходе на вторичных зажимах I₂=0 и первое уравнение формы А имеет вид:

отсюда

Для Т-образной схемы

и .

Для П-образной схемы

и .

За счет принятых обозначений сопротивлений плеч выражение для А₁₁ получилось одинаковым для Т- и П-образной схемы фильтра.

Сравнивая выражения для А₁₁ в гиперболической форме и полученный результат, имеем .

Для идеальных реактивных фильтров отношение является вещественной величиной, поэтому , а .

В зоне прозрачности и ,

тогда .

Поскольку то

откуда

или .

Это и есть основное неравенство реактивных фильтров (условие пропускания реактивных фильтров), которое выполняется лишь тогда, когда и имеют различный характер. Если в последовательном плече включена индуктивность, то в параллельном должна быть включена емкость и наоборот.

Граничные частоты полосы пропускания (частоты среза) определяются из условий

и .

Частоты среза могут быть получены по частотной характеристике входного сопротивления фильтра, нагруженного согласованным сопротивлением.

3. Характеристическое сопротивление фильтра

Для симметричного четырехполюсника (фильтра) согласованное сопротивление .

Определяя для Т- и П-образного фильтра сопротивления холостого хода и короткого замыкания, легко получить выражение для согласованных сопротивлений:

В полосе пропускания фильтра выражение всегда является вещественной положительной величиной; произведение - также вещественная положительная величина. Поэтому в полосе пропускания характеристическое сопротивление является активным.

4. Фильтры типа К

Реактивные фильтры, удовлетворяющие условию (т.е. произведение комплексных сопротивлений плеч во всем диапазоне частот постоянно), называются фильтрами типа К.

Учитывая, что сопротивления плеч и имеют разный знак (разный характер элементов), то и условие пропускания фильтра принимает вид:

Характеристическое сопротивление для т- и п-образной схем

На рис. 4 и рис. 5 представлены схемы фильтров нижних частот, верхних частот, а на рис. 6 и рис. 7 – их частотные характеристики.

Характеристики таких фильтров с точки зрения физических процессов легко объяснить на основе поведения сопротивлений емкости, индуктивности, параллельного и последовательного контура в зависимости от частоты.

Преимуществом фильтров типа К является их простота, а также рост коэффициента затухания по мере удаления от граничной частоты (частоты среза) полосы пропускания.

Недостатки:

1. Резкое изменение характеристического сопротивления в зависимости от частоты в полосе прозрачности, вследствие чего согласование фильтра с нагрузкой осуществляется лишь в ограниченной части полосы пропускания.

2. Недостаточная крутизна нарастания затухания вблизи граничной частоты, что не обеспечивает четного разделения частот.

5. Фильтр нижних частот типа К

На примере фильтра нижних частот рассмотрим получение частоты среза, частотных зависимостей, характеристического сопротивления и расчет параметров фильтра.

Основное неравенство для фильтра нижних частот имеет вид:

Отсюда граничные частоты (частоты среза):

Для получения частотных зависимостей рассмотрим соотношение .

Для ФНЧ: .

В зоне прозрачности и , тогда

и (А)

На левой границе полосы пропускания и .

На правой границе полосы пропускания и .

В зоне затухания и , но так как , то и коэффициент фазы может иметь значения . Так как на частоте среза , то и во всей зоне затухания , и равенство в зоне затухания принимает вид:

.

Отсюда

(В)

По полученным формулам А и В строятся зависимости и для фильтра нижних частот.

Характеристическое сопротивление фильтра нижних частот:

,

.

В зоне прозрачности при можно считать, что . Таким образом согласованное сопротивление нагрузки для фильтра нижних частот .

Для расчета фильтра нижних частот задаются сопротивлением нагрузки R_н и граничной частотой _с.

В основе расчета лежат соотношения:

Перемножая эти соотношения, получим:

откуда

Разделив исходные соотношения, друг на друга, получим:

откуда

Заметим, что в реальных фильтрах за счет наличия активных сопротивлений в катушках индуктивности и конденсаторах частотные зависимости несколько отличаются от расчетных. Кроме того, различие между расчетными и фактическими соотношениями обуславливается нарушением условия R_н=Z_c, которое, как видно из графиков Z_c(), делается все более и более несправедливым по мере приближения к граничной частоте.