Четырехполюсники и их уравнения
1. Основные понятия и определения
Четырехполюсником называют электрическую схему, имеющую два входных и два выходных зажима. Примеры 4-хполюсников: линия электропередачи, трансформатор, транзистор и т.д.
Принято
изображать четырехполюсник в виде
прямоугольника с выходящими из него
выводами. Одна пара выводов называется
первичной,
а другая – вторичной
и обозначается соответственно цифрами
1-1/
и 2-2/.
Выберем положительные направления
напряжений и токов (см. рис. 11.1). Ток и
напряжение на входе обозначают
и
,
ток и напряжение на выходе обозначают
и
.
Четырехполюсник является передаточным звеном между источником питания и нагрузкой. К входным зажимам, как правило, присоединяется источник, к выходным – нагрузка.
Четырехполюсники делятся на активные и пассивные, линейные и нелинейные, обратимые и необратимые. Если четырехполюсник содержит источники энергии, то это активный четырехполюсник (в прямоугольнике ставят букву А); если напряжения на зажимах двухполюсника нет, это значит, что четырехполюсник пассивный (А отсутствует).
Обратимыми называются четырехполюсники, которые отвечают принципу взаимности. Пассивные линейные четырехполюсники все обратимые. Пример необратимого четырехполюсника – транзистор.
Сущность теории четырехполюсников заключается в том, что, не проводя расчета внутренней схемы, которая может содержать сотни ветвей, узлов и источников, по некоторым обобщенным параметрам можно записать соотношения, связывающие входные и выходные токи и напряжения четырехполюсника. Эти соотношения называются уравнениями четырехполюсника.
2. Формы записи уравнений четырехполюсника. Матрицы четырехполюсника.
Ограничимся рассмотрением линейных пассивных четырехполюсников. Активный четырехполюсник можно заменить эквивалентным пассивным четырехполюсником и вынесенным за его пределы источником ЭДС.
Зависимости между двумя напряжениями и двумя токами, определяющие режим на первичных и вторичных выводах, могут быть записаны в различной форме. Если считать две из указанных величин заданными, то две другие величины будут определяемыми. Число возможных комбинаций - 6.
Возможно 6 форм записей уравнений четырехполюсника, которые можно свести в следующую таблицу.
Таблица
№ п/п |
Форма (матрица) |
Вычислить |
Дано |
1 |
A |
|
|
2 |
B, A-1 |
|
|
3 |
Y |
|
|
4 |
Z, Y-1 |
|
|
5 |
H |
|
|
6 |
G, H-1 |
|
|
Чтобы получить матрицу необходимо определить коэффициенты, связывающие в каждом случае входные и выходные параметры 4-хполюсника. Элементы матрицы определяются как расчетным путем, так и экспериментально.
Уравнения А - формы в скалярном виде
,
в матричной форме
,
где
и
-
матрицы столбцы напряжения и тока
соответственно на первичных и вторичных
выводах;
- квадратная матрица
коэффициентов.
Уравнения B - формы
.
Уравнения Y - формы
.
Уравнения Z - формы
.
Уравнения H- формы
.
Уравнения G - формы
.
Для пассивных
четырехполюсников выполняется принцип
взаимности и число независимых
коэффициентов каждого типа уравнений
уменьшается до трех. Например, для
коэффициентов матрицы
У:
.
Зависимости между коэффициентами каждой из матриц
Коэффициенты уравнений четырехполюсника - первичные параметры.
3. Методы вычисления матриц четырехполюсника.
1) по опытам холостого хода и короткого замыкания
Получим матрицу
,
выразив ее элементы через сопротивления
холостого хода и короткого замыкания
,
,
.
При холостом ходе
на зажимах 2-2/:
При коротком замыкании
на зажимах 2-2/:
При обратном питании четырехполюсника опыт холостого хода дает следующие соотношения
.
(
).
Таким образом, имеем 4 уравнения с четырьмя неизвестными. Но так как из 4-х элементов матрицы независимыми являются только 3, достаточно первых трех уравнений. Четвертое уравнение известно
.
Решая совместно 4 уравнения, находим коэффициенты матрицы А.
,
,
,
;
2) для получения матриц любого четырехполюсника можно ограничиться одним опытом холостого хода и одним опытом короткого замыкания, не вычисляя сопротивлений холостого хода и короткого замыкания. Это наиболее общий метод вычисления матриц четырехполюсника.
Запишем
.
Пусть вторичные зажимы разомкнуты. , тогда
Если вторичные зажимы замкнуты, , тогда
4. Входные сопротивления.
Отношение напряжения
к току
при питании четырехполюсника со стороны
первичных выводов и сопротивлении
нагрузки
на вторичных называется входным
сопротивлением четырехполюсника со
стороны первичных выводов
.
Отношение напряжения
к току
при питании четырехполюсника со стороны
вторичных выводов и сопротивлении
нагрузки
на первичных называется входным
сопротивлением четырехполюсника со
стороны вторичных выводов
.
Для определения входных сопротивлений можно воспользоваться любым из типов уравнений, но удобнее всего уравнениями типов А:
.
При изменении питания на обратное получим
.
Сопротивление нагрузки, при котором четырехполюсник будет отдавать в нагрузку максимальную полную мощность при заданной мощности на входе называется характеристическим или согласованным сопротивлением.
Характеристическое сопротивление входа
,
Характеристическое сопротивление выхода
.
Эти сопротивления удовлетворяют условию:
Если четырехполюсник
нагрузить на
,
то сопротивление
,
если же его сопротивление нагрузить на
,
то
.
Режим работы
четырехполюсника, при котором
называют режимом
согласованной нагрузки.
Режим работы четырехполюсника можно характеризовать передаточными функциями при заданном сопротивлении приемника. Если, например источник питания подключен к первичным выводам, то при сопротивлении приемника можно составить различные передаточные функции, например:
;
;
.