Способы построения тупиковых д.Н.Ф.

1. Критерий поглощения.

Дизъюнкция элементарных конъюнкций поглощает элементарную конъюнкцию К , если , т.е. .

Теорема. Для того чтобы дизъюнкция элементарных конъюнкций поглощала элементарную конъюнкцию К , необходимо и достаточно, чтобы каждую конъюнкцию можно было представить в форме с соблюдением следующих условий : а) б)

Таким образом , для того , чтобы проверить поглощение конъюнкции К дизъюнкцией D, следует из всех , удалить все буква , встречающиеся в К, и выяснить , всегда ли равна 1 полученная после такого удаления дизъюнкция .

Элементарные конъюнкции и называются ортогональными , если , т.е. = .

2) Алгоритм построения всех тупиковых д.н.ф.

Каждой конъюнкции из сокращенной д.н.ф. сопоставляется булева переменная . Для каждой д.н.ф. D , составленной из конъюнкций , входящих в , полагают , если содержится в D, и в противном случае .

Пусть подмножество составлено из вершин . Для каждой такой вершины выделим в сокращенной д.н.ф. все такие конъюнкции , что .

Очевидно, что д.н.ф. реализует функцию f в том и только в том случае , если .

Преобразуя левую часть равенства получим .

Каждой конъюнкции из левой части соответствует д.н.ф. функции f , которая будет тупиковой д.н.ф и тупиковых д.н.ф. будет столько сколько конъюнкций имеется в левой части последнего равенства.

Локальные алгоритмы упрощения д.Н.Ф.

Операции над д.н.ф.

Будем рассматривать д.н.ф. не только как формулу, но и как множество входящих в нее конъюнкций.

Сумму всех минимальных д.н.ф. функции f назовем д.н.ф. типа и обозначим через .

Пересечение всех минимальных д.н.ф. функции f назовем д.н.ф. типа и обозначим через .

Сумму всех тупиковых д.н.ф. функции f назовем д.н.ф. типа и обозначим через .

Пересечение всех тупиковых д.н.ф. функции f назовем д.н.ф типа и обозначим через .

Пусть D – произвольная д.н.ф. функции f . Д.н.ф. называется минимальной относительно D если она содержит наименьшее число букв по сравнению с другими д.н.ф. , содержащимися в D и реализующими f ; д.н.ф. называется тупиковой относительно D , если ей соответствует неприводимое покрытие подмножества и содержится в D .

Сумму всех д.н.ф. минимальных ( тупиковых) относительно D , назовем д.н.ф. типа относительно D .

Пересечение всех минимальных (тупиковых) относительно D , назовем д.н.ф. типа относительно D .

Ядром д.н.ф. называется совокупность всех таких конъюнкций , для которых .

Замечание. Если д.н.ф. тупиковая , то каждая ее конъюнкция входит в ядро.

Теорема. Конъюнкция К из д.н.ф. D входит в д.н.ф. тогда и только тогда , когда входит в ядро д.н.ф. D .

Следствие. Пусть ядро д.н.ф. D составлено из конъюнкций .

Если , то К не входит в д.н.ф. .

Если конъюнкция К входит в д.н.ф. D , окрестностью первого порядка конъюнкции К в д.н.ф. называется совокупность всех таких конъюнкций из д.н.ф. D , что  .

Очевидно, что конъюнкции из и определяют , входит К в ядро д.н.ф. D или нет. Т.е. если , то K или одновременно входит или одновременно не входит в д.н.ф. и .