Проектирование изделий и оценка технического уровня Лабораторная работа № 4

Тема: Применение метода расстановки приоритетов для выбора проектных решений

В основу этого метода [4.4] положен принцип решения «задачи о лидере», в которой рассматривалась проблема определения результатов некоторого спортивного турнира; шахматного, хоккейного и т. п. Обычно для определения победителя о распределения мест других участников суммируются очки каждого игрока или команды;

Результат	Очки	Очки
Выигрыш	1	2
Ничья	1 / 2	1
Поражение	0	0

Такой подход к выявлению победителя нельзя назвать абсолютно справедливым, потому что место игрока (команды) определяется суммой очков, полученных без учета силы соперников. Например, 2 очка присваивается за победу и над слабым, и над сильным соперником. Решение «задачи о лидере» позволяет учесть силу соперника, и тем самым более справедливо распределить места.

Нахождение решений выбора с помощью расстановки приоритетов требует соблюдение этапов, которые уже рассматривались в МАИ:

1. Структурирование проблемы выбора.

2. Разработка (составление) системы критериев.

3. Анализ характеристик (параметров) объектов выбора в соответствии с выбранными критериями.

4. Синтез и расстановка приоритетов на основе парных сравнений.

На первом этапе формируется и конкретизируется множество из N объектов (вариантов), из которых предстоит выбрать лучший, оптимальный, наиболее удобный или предпочтительный, расставить по степени важности, значимости, превосходства.

На втором этапе формируется иерархическая система критериев, содержащая К критериев. Их соблюдение будет определять степень достижения цели выбора.

На третьем этапе по шкалам органолептических оценок раздела 1.1 высказываются суждения об уровне соответствия параметров объектов критериям и назначаются оценки: W₁, W₂, ... , W_К, как показано в табл.4.15.

Таблица 4.15 Пример оформления результатов анализа

Варианты	Критерий C1	Критерий С2		Критерий Ск
	Суждение Баллы	Суждение Баллы		Суждение Баллы
А1	P1(C1) W1(C1)	P1(C2) W1(C2)		P1(Ск) W1(Ск)
А2	P2(C1) W2(C1)	P2(C2) W2(C2)		P2(Ск) W2(Ск)
А3	Р3(С1) W3(C1)	Р3(С2) W3(C2)		Р3(Ск) W3(Ск)
А4	Р4(C1) W4(C1)	Р4(C2) W4(C2)		Р4(Ск) W4(Ск)

Четвертый этап выполняется следующим образом.

1. На основании результатов анализа строятся матрицы парных сравнений a[n] для n объектов между собой по каждому сi критерию.

Таблица

	A1	A2	A3	A4
A1	W1/W1	W1/W2	W1/W3	W1/W4
A2	W2/W1	W2/W2	W2/W3	W2/W4
A3	W3/W1	W3/W2	W3/W3	W3/W4
A4	W4/W1	W4/W2	W4/W3	W4/W4

Общий вид матрицы парных сравнений A[N] = , ij =1, 2 … N.

	A1	A2	A3	A4
A1	a11	a12	a13	a14
A2	a21	a22	a23	a24
A3	a31	a32	a33	a34
A4	a41	a42	a43	a44

Количественные оценки результатов сравнений заносятся в матрицу по сле­дующему правилу

2. Определяются собственные вектора матрицы A[N]. Для объективной рас­становки приоритетов объектов ( или другими словами распределения мест) ор­ганизуется итерационный процесс вычисления оценок, который заключается в последовательном применении преобразования, задаваемого матрицей А[N].

На первой итерации собственные вектора находятся простым суммированием элементов строк а_ij:

Таблица 4.17 Общий вид матрицы парных сравнений для N объектов по j-му критерию на первой итерации

Варианты	Матрица				Вычисление оценок компонент собственного вектора на первой итерации	Нормализация для получения оценок вектора локальных приоритетов
	А1	А2	А3	А4	Si	Xi
А1	a11	a12	a13	a14	a11+ a12 + a13+ a14 = S1	S1/Ss = X1
А2	a21	a22	a23	a24	a21+ a22 + a23+ a24 = S2	S2/Ss = X2
А3	a31	a32	a33	a34	a31+ a32 + a33+ a34 = S3	S3/Ss = X3
А4	a41	a42	a43	a44	a41+ a42 + a43+ a44 = S4	S4/Ss = X4
					Ss = S1 + S2 + S3 + S4	Сумма = 1

3. Находятся нормализованные значения векторов Хi, матрицы А[N]:

; ; …;

4. Правильность вычислений проверяется условием

На второй итерации собственные значения векторов S, корректируются с учетом приоритетов (значимости, силы) других векторов по формуле

В общем виде, процесс вычисление векторов S, можно представить с помощью следующих формул

,

Таблица 4.18 Общий вид матрицы парных сравнений для второй итерации

Варианты	Матрица				Вычисление оценок компонент собственного вектора на первой итерации	Нормализация для получения оценок вектора локальных приоритетов
	А1	А2	А3	А4	Si (2)	Xi(2)
А1	a11	a12	a13	a14	a11 S1(1) + a12 S2(1) + a13 S3(1) + a14 S4(1)= S1 (2)	S1(2)/Ss(2) = X1(2)
А2	a21	a22	a23	a24	a21 S1(1) + a22 S2(1) + a23 S3(1) + a24 S4(1)= S2(2)	S2(2)/Ss(2) = X2(2)
А3	a31	a32	a33	a34	a31 S1(1) + a32 S2(1) + a33 S3(1) + a34 S4(1)= S3(2)	S3(2)/Ss(2) = X3(2)
А4	a41	a42	a43	a44	a41 S1(1) + a42 S2(1) + a43 S3(1) + a44 S4(1)= S4(2)	S4(2)/Ss(2) = X4(2)
					Ss(2) = S1(2) + S2 (2) + S3 (2) + S4(2)	Сумма = 1

При многократном повторении итераций, собственные значения векторов будут стремиться к своим предельным значениям;

,

Теоретически собственный вектор матрицы стремится к своему пределу при k → ∞, т.е. при неограниченном числе итераций. При решении практических задач с приемлемой погрешностью ε_доп за собственный вектор матрицы A[N] можно принять вектор какой-либо k-й итерации. Это значение находится из условия:

ε_k ≤ S_i^(k) – S_i^(k-1) или ε_k ≤ X_i^(k) – X_i^(k-1)

где Х - нормализованные значения собственных векторов S - последующей k-й и предыдущей (k-1)-й итерации, ε_доп задается требуемой точностью вычислений. С достаточной для практических целей точностью можно принять 0,01 ≤ ε_доп ≤ 0,001. Как правило, находится обобщенная погрешность всех векторов S_i^(k):

Следующий пример иллюстрирует применение МРП в практике проектирования печатных плат.