Цикл задач по теме «Алгебраические операции и структуры»

Образец решения.

1. Определите, какие из операций – сложение, вычитание, умножение, деление – являются алгебраическими на множестве А={2n|nÎN }.

Решение

Выберем два произвольных числа a = 2а и b = 2b ( a, bÎ N ).

а) Рассмотрим сумму этих чисел:

a+ b = 2а + 2b = 2 ( а + b ).

Так как число а + b натуральное и определено единственным образом как сумма натуральных чисел, то число 2(а+b) также определено единственным образом как произведение натуральных чисел и принадлежит множеству А. Следовательно, сложение алгебраично на множестве А.

б) Рассмотрим произведение чисел a и b: a·b=2а·2b=2·2аb.

Так как число аb натуральное и определено единственным образом как произведение натуральных чисел, то число 2аb также натуральное и определено единственным образом. Отсюда следует, что и число 2·2аb также натуральное, определено единственным образом и принадлежит множеству А. Следовательно, умножение алгебраично на множестве А.

в) Разность и частное чисел a и b не всегда является элементом множества А. Например, разность 2·1–2·2, равная (-2), есть число не натуральное, а, значит, она не принадлежит множеству А. Тоже можно сказать и о частном рассмотренных в примере чисел. Таким образом, вычитание и деление не алгебраичны на множестве А.

2. Выясните, является ли операция

а) ;

б) ;

в)

коммутативной на множестве Q ?

Решение

а) Выберем любые рациональные числа а и b. Поскольку сложение рациональных чисел коммутативно, то . Следовательно указанная операция коммутативна на множестве Q по определению коммутативной операции.

б) Рассмотрим х = 1 и у = 2.

Таким образом, . Следовательно, указанная операция не коммутативна на множестве Q.

в) Поскольку, в силу коммутативности сложения рациональных чисел, для любых рациональных m и n верно:

,

то указанная операция коммутативна на множестве Q.

3. Какие из следующих операций ассоциативны на множестве Z :

а) ;

б) ;

в) ?

Решение

а) Выберем произвольные целые числа a, b и c.

В силу произвольности выбора чисел a, b и на основании определения ассоциативной операции, указанная операция ассоциативна.

б) Пусть х = 10, у = 4, z = 3.

Таким образом, указанная операция не ассоциативна.

в) Пусть m = 5, n = 4, r = 3.

Поскольку , то указанная операция не ассоциативна.

4. На множестве Z Z заданы следующие операции:

(а, b) + (c, d) = (a+c, b+d)

(а, b) ·(c, d) = (ac , bd)

Докажите дистрибутивность такого умножения пар целых чисел относительно указанного сложения.

Решение

Выберем произвольные пары (x,y),(m,n)и(u,v), принадлежащие Z Z.

(x,y)·[(m,n)+(u,v)]=(x,y)·(m+u, n + v)=(x·(m+u),y·(n+v))=

=(xm+xv, yn+yv)=(xm, yn)+(xv, yv)= =(x,y)·(m,n)+(x,y)·(u,v).

В силу произвольности выбора пар (x,y), (m,n) и (u,v), по определению операции, дистрибутивной относительно другой операции, указанное умножение пар целых чисел дистрибутивно относительно указанного сложения.

5. Образует ли числовое множество С = { 2n+1 | n Î Z } группу относительно обычного сложения целых чисел?

Решение

Выберем во множестве С два произвольных числа: a =2а+1 и b=2b+1 (a,bÎ Z ). Рассмотрим сумму этих чисел:

a+ b = (2а +1) + (2b +1) = 2(а +b +1).

Мы видим, что a + b не является элементом множества С, так как оно четное. Следовательно, сложение на С не алгебраично, что противоречит определению группы. Значит, множество С относительно обычного сложения целых чисел группой не является.

6. Определите, является ли множество Z Z

а) кольцом ;

б) полем

относительно операций сложения и умножения, определенных в задаче 4.

Решение

1) Проверим, что множество Z Z относительно определенного в задаче 4 сложения является коммутативной группой.

а) Выберем во множестве Z Z произвольные пары (а, b) и (c, d). Поскольку a + c и b + d однозначно определенные целые числа, то пара(a + c, b + d) принадлежит Z Z и определена однозначно. Таким образом, указанное в задаче 4 сложение пар целых чисел алгебраично.

б) Для любых пар целых чисел (а, b) и (c, d) в силу коммутативнсти сложения целых чисел верно, что:

(а, b)+(c, d)=(a+c, b+d)=(с+а, d+b)=(c, d)+(а, b),

а это означает, что такое сложение пар целых чисел коммутативно.

в) Для любых пар целых чисел (а, b), (c, d) и (e, f) в силу ассоциативности сложения целых чисел, верно, что:

[(а, b)+(c,d)]+(e,f)=[(a+c,b+d)]+(e,f)=((a+c)+e,(b+d)+f)=

=(a+(c+e),b+(d+f))=(а,b)+((c+e),(d+f))=(а,b)+[(c,d)+(e,f)]

Установленное равенство означает, что данное нам сложение пар целых чисел ассоциативно.

г) Роль нуля в Z Z относительно нашего сложения играет пара (0,0), поскольку для любой пары (а,b) Î Z Z

(а,b) + (0,0) = (0,0) + (а,b) = (а,b).

д) Докажем, что для любой пары целых чисел найдется противоположный относительно сложения элемент. Действительно, выберем произвольную пару (а,b) Î Z Z. Рассмотрим пару ( -а, - b). Она также принадлежит Z Z, и, кроме того:

(а,b) + ( -а, - b) = ( -а, - b) + (а,b) = (0,0).

Следовательно, пара ( -а, - b ) является противоположной к паре (а,b).

Из пунктов а) – д) следует, что Z Z относительно определенного в задаче 4 сложения пар натуральных чисел является коммутативной группой.

2. Алгебраичность и ассоциативность операции умножения пар целых чисел, определенных в задаче 4 доказываются по аналогии с с доказательствами соответствующих свойств сложения.

3. Дистрибутивность умножения пар целых чисел относительно сложения уже доказана в задаче 4.

4. Из 1) – 3) по определению кольца следует, что Z Z является кольцом относительно сложения и умножения пар целых чисел, указанных в задаче 4.

5. Единичным элементом в Z Z относительно умножения является пара (1,1), поскольку для любой пары (а,b) верно, что

(а,b) · (1,1) = (1,1) · (а,b) = (а,b).

Тогда обратным элементом к паре (а,b) будет пара ( 1:a, 1:b), которая не является элементом Z Z. Таким образом, множество Z Z\{(0,0)} относительно умножения группой не является. Это означает, что Z Z поле относительно рассматриваемых операций.

7. Значение выражения 28·15 может быть найдено, например, следующим образом:

28·15=28·(3·5)=(28·3)·5=((20+8)·3)·5=(20·3+8·3)·5 =

= (60+24)·5=84·5=(80+4)·5=80·5+4·5= 400 + 20 = 420.

Дайте обоснование этому способу вычисления и предложите другие способы вычисления значения данного выражения. Укажите среди всех способов наиболее рациональный.

Решение

1. Перенумеруем все переходы, осуществленные для вычисления:

1) 2) 3) 4) 5)

28·15=28·(3·5)=(28·3)·5=((20+8)·3)·5=(20·3+8·3)·5 =

6) 7) 8) 9) 10)

= (60+24)·5=84·5=(80+4)·5=80·5+4·5= 400 + 20 = 420.

Переход 1) осуществлен на основании замены числа 15 выражением 3·5, значение которого также равно 15.

Переход 2) осуществлен на основании ассоциативного закона умножения натуральных чисел.

Переход 3) осуществлен на основании замены числа 28 суммой разрядных слагаемых.

Переход 4) осуществлен на основании дистрибутивного закона умножения натуральных чисел относительно сложения.

Переход 5 ) и 6) осуществлены на основании вычисления значений выражений 20 · 3, 8 · 3 и 60 + 24.

Переход 7) осуществлен на основании замены числа 84 суммой разрядных слагаемых.

Переход 8) осуществлен на основании дистрибутивного закона умножения натуральных чисел относительно сложения.

Переход 9 ) и 10) осуществлены на основании вычисления значений выражений 80 · 5, 4 · 5 и 400 + 20.

2. Другие способы вычисления значения выражение 28 · 15 :

28·15=28·(3·5)=(28·3)·5=((20+8)·5)·3=(20·5+8·5)·3 =

=(100+40)·3=100·3+40·3 = 300 + 120 = 420;

28·15=28·(10+5)=28·10+28·5=280+(20+8)·5=280+(20·5+8·5)=

=280 + (100 + 40 ) = (280 + 100 ) + 40 = 380 + 40 = 420

C точки зрения количества переходов, последние два способа более рациональны, чем первый способ, так как в них содержится меньшее число переходов . Но третий способ наиболее удобный.

Вариант 1

1. Определите, какие из операций – сложение, вычитание, умножение, деление – являются алгебраическими на множестве

   А = { а | а ÎN , а 10 }.

2. Выясните, является ли операция

а) ;

б) ;

в)

коммутативной на множестве Q ?

3. Какие из следующих операций ассоциативны на множестве Z:

а) ;

б) ;

в) ?

4. На множестве Z Z заданы следующие операции:

(а, b) + (c, d) = (a+c, b+d)

(а, b) ·(c, d) = (ad , bc) .

Докажите дистрибутивность такого умножения пар целых чисел относительно указанного их сложения.

5. Образует ли числовое множество С = { 7n | n Î Z } группу относительно обычного сложения целых чисел?

6. Определите, является ли множество Z Z

а) кольцом ;

б) полем

относительно операций сложения и умножения, определенных в задаче 4.

7. Значение выражения 37·12 может быть найдено, например, следующим образом:

37·12=37·(3·4)=(37·3)·4=((30+7)·3)·4=(30·3+7·3)·4 =

=(90+21)·4=111·4=(100+10+1)·4=100·4+10·4+1·4=400+40+4=444.

Дайте обоснование этому способу вычисления и предложите другие способы вычисления значения данного выражения. Укажите среди всех способов наиболее рациональный.

Вариант 2

1. Определите, какие из операций – сложение, вычитание, умножение, деление – являются алгебраическими на множестве неотрицательных действительных чисел.

2. Выясните, является ли операция

а) ;

б) ;

в)

коммутативной на множестве Q ?

3. Какие из следующих операций ассоциативны на множестве Z:

а) ;

б) ;

в)

4. На множестве Z Z заданы следующие операции:

(а, b) + (c, d) = (a, d)

(а, b) ·(c, d) = (ac , bd) .

Будет ли заданное умножение пар целых чисел дистрибутивным относительно указанного сложения.

5. Образует ли группу числовое множество А = { 2n | n Î Z } относительно обычного сложения целых чисел?

6. Определите, является ли множество всех высказываний относительно операций конъюнкции и дизъюнкции

а) кольцом ;

б) полем.

7. Значение выражения 73·35 может быть найдено, например, следующим образом:

73·35=73·(7·5)=(73·7)·5=((70+3)·7)·5=(70·7+3·7)·5=

=(490+21)·5=511·5=(500+10+1)·5=500·5+10·5+1·5=2500+50+5=2555.

Дайте обоснование этому способу вычисления и предложите другие способы вычисления значения данного выражения. Укажите среди всех способов наиболее рациональный.

Вариант 3

1. Определите, какие из операций – сложение, вычитание, умножение, деление – являются алгебраическими на множестве нечетных натуральных чисел.

2. Выясните, является ли операция

а) ;

б) ;

в)

коммутативной на множестве Q ?

3. Какие из следующих операций ассоциативны на множестве Z :

а) ;

б) ;

в) ?

4. На множестве Z Z заданы следующие операции:

(а, b) + (c, d) = ( c, d )

(а, b) ·(c, d) = (ad , bc) .

Докажите дистрибутивность такого умножения пар целых чисел относительно указанного их сложения.

5. Образует ли множество целых чисел, кратных 3, группу относительно операции

а) обычного сложения?

б) обычного умножения?

6. Пусть М – некоторое произвольное множество, Р ( М ) – множество всех подмножеств множества М. Определите, является ли Р(М)

а) кольцом ;

б) полем

относительно операций пересечения и декартова произведения множеств.

7. Укажите все случаи использования законов сложения и умножения целых неотрицательных чисел при вычислении значения выражения :

569·371+170·569+569·459=569·371+569·170+569·459 =

=569·(371+170+459)=569·(371+459+170)=569·((371+459)+170)=

= 569 · ( 830 + 170 ) = 569 · 1000 = 569000

Вариант 4

1. Определите, какие из операций – сложение, вычитание, умножение, деление – являются алгебраическими на множестве целых чисел, кратных 7 ? (Говорят, что целое число а делится на целое число b, если найдется целое число с такое, что а = bc.)

2. Выясните, является ли операция

а) ;

б) ;

в)

коммутативной на множестве Q ?

1. Какие из следующих операций ассоциативны на множестве Z :

а) ;

б) ;

в) ?

4. На множестве N N заданы следующие операции:

(а, b) + (c, d) = (a-c, b-d)

(а, b) ·(c, d) = (ad , bc) .

Будет ли определенное таким образом умножение пар натуральных чисел дистрибутивным относительно указанного сложения?

5. Образует ли множество А = { 5к + 1 | кÎ Z } группу относительно обычного умножения целых чисел?

6. Пусть М – некоторое произвольное множество, Р ( М ) – множество всех подмножеств множества М. Определите, является ли Р(М)

а) кольцом ;

б) полем

относительно операций объединения декартова произведения множеств.

7. Вычислите значение выражения 125·15·6·8 рациональным способом и укажите все случаи использования законов сложения и умножения.