Цикл задач по теме «Математические понятия и их определения»
Образец решения
Назовите существенные и несущественные свойства понятия прямоугольник.
Решение
Существенные свойства прямоугольника:
иметь четыре стороны,
иметь четыре угла,
иметь равные противоположные стороны,
иметь равные диагонали и т.д.
Несущественные свойства прямоугольника:
иметь четыре равные стороны,
иметь стороны 1см и 5 см ,
иметь периметр, меньший 10м ,
иметь площадь, равную 100смІ и т.д.
2. Укажите:
а) необходимые признаки параллелограмма;
б) достаточные признаки параллелограмма;
в) необходимые признаки параллелограмма, не являющиеся достаточными;
г) достаточные признаки параллелограмма, не являющиеся необходимыми;
д) признаки параллелограмма, являющиеся одновременно и необходимыми и достаточными;
е) характеристические свойства параллелограмма.
Решение
а)
понятие необходимого признака, по
определению, совпадает с понятием
существенного признака, а именно:
если все объекты, подходящие под данное
понятие, обладают свойством
,
то говорят, что
– существенное
свойство
этого понятия, или его необходимый
признак. Следовательно, необходимыми
признаками параллелограмма являются
следующие свойства параллелограмма:
быть четырехугольником,
иметь две диагонали, иметь сумму углов,
равную
и т.д.
б) по определению, если – достаточный признак какого – либо понятия, то им обладают некоторые ( не обязательно все ) объекты, подходящие под данное понятие и не обладает ни один объект, не подходящий под это понятие. Поэтому, достаточным признаком параллелограмма является, например, свойство четырехугольника “быть квадратом”, “быть прямоугольником” и т.д.
в) все необходимые признаки, перечисленные в пункте а) не являются достаточными, т.к. есть еще много разных четырехугольников, имеющих, конечно, две диагонали и сумму углов, равную , но не являющихся параллелограммами.
г) достаточные признаки, перечисленные в пункте б) не являются необходимыми, поскольку существуют параллелограммы, не являющиеся ни квадратами, ни параллелограммами.
д) попарное равенство противоположных сторон есть и необходимый и достаточный признак параллелограмма, поскольку всякий параллелограмм обладает этим свойством, и обратно, если противоположные стороны параллелограмма попарно равны, то этот четырехугольник не может не быть параллелограммом.
е) Поскольку, по определению, характеристические свойства присущи каждому объекту, подходящему под данное понятие и не присущи никаким объектам, не подходящим под данное понятие, свойство, названное в пункте д) - характеристическое свойство параллелограмма.
3. Найдите общие существенные свойства трапеции и ромба.
Решение
и трапеция и ромб – четырехугольники,
и в трапеции и в ромбе имеется две параллельные стороны,
и в трапеции и в ромбе сумма всех углов составляет ,
и трапеция и ромб – плоские геометрические фигуры,
- и т.д.
4. Определите, независимы ли равенство сторон и равенство длин диагоналей четырехугольника.
Решение
Свойства
и
называются независимыми,
если существуют
объекты, обладающие обоими свойствами,
объекты, обладающие лишь свойством ,
объекты, обладающие лишь свойством ,
объекты, не обладающие ни одним из этих свойств.
В квадрате равны и стороны и диагонали.
В ромбе, не являющемся квадратом, стороны равны, а диагонали не равны.
Существуют четырехугольники, диагонали которых равны, а стороны не равны.
Существуют четырехугольники, в которых стороны не равны и диагонали не равны.
Из 1 – 4, по определению независимых свойств, следует, что равенство сторон и равенство длин диагоналей четырехугольника независимы.
5. Является ли свойство следствием свойства , если - делимость натурального числа на 4, а - делимость натурального числа на 8.
Решение
Говорят, что свойство есть следствие свойства , если любой объект, обладающий свойством , обладает и свойством .
Если число делится на 4, то оно не обязательно делится на 8: например, 12 делится на 4, но не делится на 8. Значит, делимость натурального числа на 8 не является следствием делимости на 4.
6. Приведите примеры равносильных свойств треугольников.
Решение
Свойства и называются равносильными, если есть следствие , а - следствие .
Пусть - есть свойство равнобедренности треугольника, – свойство треугольника иметь два равных угла. Поскольку эти свойства являются следствиями друг друга, то они равносильны.
7. Являются ли свойства ткани “быть шерстяной” и “быть шелковой” противоположными? Несовместимыми? Обоснуйте свой ответ.
Решение
1. Если любой объект, подходящий под данное понятие, обладает ровно одним из свойств и , то в этом случае свойства и называются противоположными.
Поскольку ткань может быть не только шерстяной или шелковой, то данные свойства ткани не являются противоположными.
2. Свойства и несовместимы, если нет объектов, обладающих одновременно и свойством , и свойством . Это значит, что ни один объект обладающий , не обладает .
Не существует ткани, которая была бы одновременно и шерстяной и шелковой- поэтому, в соответствии с определением несовместимых понятий, данные свойства ткани несовместимы.
8. Представьте, что на Марсе были обнаружены существа, имеющие головы. Придумайте свойство марсиан, противоположное свойству иметь одну голову.
Решение
Рассмотрим свойство марсиан “иметь не одну голову”. Поскольку для любого марсианина верно ровно одно из двух – либо у него одна голова, либо не одна - то в соответствии с определением противоположных свойств, приведенным в решении задачи 7, данные свойства противоположны.
9. Назовите несколько объектов, подходящих под понятие:
а) геометрическая фигура;
б) натуральное число;
в) четырехугольник.
Какие объемы имеют данные понятия?
Решение
а) точка, прямая, отрезок, луч, окружность многоугольник – геометрические фигуры. Объем данного понятия составляют все геометрические фигуры.
б) 1,2,3,4,5 – натуральные числа. Объем понятия “натуральное число” составляют все натуральные числа.
в) квадрат, прямоугольник, ромб, параллелограмм – четырехугольники. Объем данного понятия составляют все четырехугольники.
10. Можно ли сказать, что :
а) квадрат – частный случай прямоугольника?
б) прямоугольник – частный случай квадрата?
в) правильный многоугольник – частный случай равностороннего треугольника?
Решение
а) Пусть имеются понятия а и в с соответствующими им объемами Vа и Vв. Если Vа – часть Vв, то в называют родовым по отношению к а; говорят также, что в – обобщение а. Понятие же а является видовым по отношению к в, или частным случаем в.
Объем понятия квадрат – множество всех квадратов.
Объем понятия прямоугольник – множество всех прямоугольников. Так как все углы квадрата – прямые, то все квадраты являются и прямоугольниками. Таким образом, объем понятия квадрат есть часть объема понятия прямоугольник и, следовательно, квадрат – частный случай прямоугольника.
Рассуждения в пункте б) и в) проводятся аналогично.
11. Назовите понятие, которое является родовым по отношению к каждому из наборов понятий:
а) двузначное число, четное число, отрицательное число;
б) отрезок, треугольник, четырехугольник, окружность.
Решение
а) Все перечисленные объекты являются числами, следовательно, родовым понятием для них является понятие числа.
б) Все перечисленные объекты являются геометрическими фигурами. Значит, родовым для них является понятие геометрической фигуры.
12. Имеется последовательность понятий: четырехугольник, геометрическая фигура, ромб, многоугольник, квадрат, параллелограмм. Изобразите соотношения между их объемами с помощью кругов Эйлера - Венна и запишите данные понятия в такой последовательности, чтобы:
а) каждое последующее понятие было видовым по отношению к предыдущему;
б) каждое последующее понятие было родовым по отношению к предыдущему.
Решение
Все квадраты являются ромбами, все ромбы – параллелограммами, все параллелограммы – четырехугольниками, все четырехугольники – многоугольниками, все многоугольники – геометрическими фигурами. Если обозначить
множество всех квадратов буквой А,
множество всех ромбов буквой В,
множество всех параллелограммов буквой С,
множество всех четырехугольников буквой D,
множество всех многоугольников буквой Е,
множество всех геометрических фигур буквой F,
то соотношение между объемами указанных понятий изобразится с помощью кругов Эйлера – Венна следующим образом:
F E D C B A
|
Последовательность
а)геометрическая фигура, многоугольник, четырехугольник, параллелограмм, ромб, квадрат.
б)квадрат, ромб, параллелограмм, четырехугольник, многоугольник, геометрическая фигура.
13. Выясните, каково соотношение между содержаниями понятий:
а) ромба и параллелограмма;
б)прямоугольного треугольника и равностороннего треугольника;
и проиллюстрируйте его с помощью кругов Эйлера – Венна .
Решение
а) Каждый ромб есть параллелограмм, поэтому все свойства параллелограммов справедливы и для ромбов. Однако есть такие свойства ромбов, которые не относятся к содержанию понятия параллелограмм: к примеру, равенство всех сторон. Следовательно, содержание понятия параллелограмм (А) является частью содержания понятия ромб (В):
B A
|
б) Поскольку у понятий прямоугольный треугольник и равносторонний треугольник есть общие свойства ( наличие трех сторон, трех углов и др.), то их содержания имеют общую часть. Однако есть свойства, которые присущи только прямоугольным треугольникам, равно как есть и свойства, присущие только равносторонним треугольникам. Таким образом, соотношение между содержанием понятия прямоугольный треугольник (С) и содержанием понятия равносторонний треугольник (Д) выглядит следующим образом:
C D
|
14. Являются ли равносильными понятия:
а) четырехугольника с равными сторонами и четырехугольника с равными углами;
б) красного яблока и не зеленого яблока.
Решение
Если объемы понятий а и в совпадают, тогда понятия а и в называются равносильными.
а)Объем понятия четырехугольник с равными сторонами составляют все ромбы; объемом понятия четырехугольник с равными углами является множество всех прямоугольников. Поскольку эти множества различны, то рассматриваемые понятия не равносильны.
б) Объем понятия красное яблоко составляют все красные яблоки, объем понятия не зеленое яблоко составляют все яблоки, не являющиеся зелеными, т.е. красные, и желтые. Таким образом объемы данных понятий различны, и, следовательно, они не равносильны.
15. В следующих определениях выделите определяемое и определяющее понятие:
а) Ромбом называется параллелограмм, у которого все стороны равны.
б) Прямая, имеющая с окружностью единственную общую точку, называется касательной к этой окружности.
Решение
а)Определяемым является понятие ромб. Это понятие определяется через понятие параллелограмм, которое поэтому является определяющим.
б) Определяемое понятие – касательная, определяющее – прямая.
16. Проанализируйте задания для детей младшего школьного возраста с точки зрения признаков понятий, соотношения между объемами различных понятий, отношений рода и вида :
а) исключи лишнее слово: река, озеро, море, мост, пруд;
б) продолжи цепочку слов и подбери общее слово для слов цепочки: лето, зима,…;
в) подбери нужное слово из тех, что записаны в скобках во второй строке по аналогии с первой строкой:
огурец - овощ;
гвоздика - ?
( сорняк, цветок, роса, садик, земля).
Решение
а) Понятия река, озеро, море, мост, пруд имеют общий признак – это водоемы. Мост не обладает указанным признаком. Следовательно, слово мост является лишним.
б) Лето, зима, осень, весна. Общее слово – сезон, или время года. Понятие сезон – родовое для понятий лето, зима, осень, весна, являющихся видами сезонов.
в) Слова огурец и овощ находятся в родо–видовом отношении: огурец – вид овощей. Поэтому для слова гвоздика в скобках надо выбрать родовое понятие – цветок.
Вариант 1
1. Назовите существенные и несущественные свойства понятия квадрат.