Квадратурные формулы Гаусса.

Итак, все квадратурные формулы имеют вид

Формулы Гаусса имеют дополнительное условие : должна быть точной для полиномов высокой степени.

Суть состоит в следующем: вначале формулы Гаусса находятся для отрезка [-1,1] , то есть

А затем производят замену

Требование точности формулы для многочленов степени m эквивалентно требованию ее точности для функции f(t) : 1, t, t²,….,t^m . следовательно,

Уравнение дает систему нелинейных уравнений для определения a_i и t_i. Этих переменных 2N штук., следовательно необходимый многочлен будет иметь степень m=2N+1, и нужно учесть t⁰=1.

Построим квадратурную формулу Гаусса с двумя и тремя узлами :

А) N=1,m=2N+1=3. Индекс i пробегает значения от 0 до N , то есть два узла.

Имеем:

Система уравнений:

→

Формула Гаусса точная для многочленов третьей степени

Б) N=2,m=2N+1=5. Индекс i пробегает значения от 0 до N , то есть три узла.

→

Квадратурная формула Гаусса будет иметь вид :

Она точна до полиномов пятой степени.

Оценка погрешности:

Убывание очень быстрое.