Составные квадратурные формулы с переменным шагом.

Рассмотрим интегрирование функций f(x) с дополнительным условием f"(x) монотонная знакоопределенная функция на заданном интервале.

Пусть она монотонно убывающая. Положим х₀=а. Определяем наибольшее значение х₁ из условия R₀≤ε (погрешность простейшей формулы прямоугольников не превышала заданной погрешности)

Надо решить уравнение

Имеем

В итоге будем иметь общую формулу

Количество интервалов определяется точностью ε и поведением второй производной на заданном интервале. Однако верхнюю границу можно определить по длине наименьшего частичного интервала

Просуммировав, получим составную квадратурную формулу прямоугольников с переменным шагом :

Если f"(x) монотонно возрастающая положительная то частичные интервалы определяются справа налево от точки в к точке а , если монотонно возрастающая отрицательная, то частичные интервалы определяются слева направо от точки а к точке в.

Оценка общей погрешности численного интегрирования

При определении общей погрешности численного интегрирования надо понимать , что помимо остаточного члена есть погрешность задания весов ( коэффициентов ) в формулах и погрешность вычисления значений функции в узлах. Таким образом , абсолютная погрешность численного определения интеграла может быть представлена в виде:

∆q_i - абсолютная погрешность весов,

∆ξ_i - абсолютная погрешность узлов

При компьютерном вычислении можно считать

∆q_i ≈∆ξ_i ≈ε , 0 ≤ i ≤ n-1 , ε- точность представления вещественных чисел

Видно , что для оценки погрешности надо иметь числовую оценку модуля функции и ее первой производной.

Пусть это будут величины М₀ и М₁.

∆I=nε(М₀+М₁)+│R│

Если далее аналогично предположить , что существуют такие М₂ и М₄ для второй и четвертой производных , то получим выражения для ∆I формул прямоугольников, трапеций и Симпсона .

Существует абсолютная погрешность ∆I_min для любой квадратурной формулы, которую нельзя уменьшить увеличивая число шагов.

Конкретное значение зависит от М₀, М₁, М₂, М₄, а, в, ε . Рассмотрим пример : для формулы Симпсона имеем:

В итоге :

Если (в-а)=1, M₀+M₁=1,M₄=45,ε=10^-7 тогда n=25, ∆I_min=3.10^-6

Если определение констант оказывается затрудненным , то переходят к вычислению с двойной точностью.

Правило Рунге оценки погрешности квадратурной формулы

Для оценки погрешности любой квадратурной формулы с шагом h/2 следует вычислить численный интеграл по той же формуле с шагом h , тогда погрешность первоначального вычисления имеет величину

На практике для прямоугольников и трапеций , формулы Симпсона

,

В основе этого правила уточнения лежит экстраполяция Ричардсона.

Идея экстраполяции Ричардсона в том , чтобы из значений Q_h/2 и Q_h составить такую линейную комбинацию

Q_h/2,h=c₁ Q_h/2 + c₂ Q_h ,

чтобы погрешность приближения интеграла I с помощью этой линейной комбинации Q_h/2,h была более высокого порядка h , чем Q_h/2 и Q_h по отдельности

Коэффициенты выбираются в виде

Точность квадратурной формулы при фиксированном числе узлов существенно зависит от расположения этих узлов. При неудачно расположении узлов квадратурная формула может дать весьма искаженные результаты.

Вообще при наличии большого числа нулей подынтегральной функции или при наличии большого числа экстремумов ( когда производная f'(x) равна нулю) точность кв. формул резко понижается. Шаг h следует выбирать так , чтобы он был намного меньше расстояний между соседними нулями функции f(x) и ее производной f'(x) .

Для этого рекомендуется основной отрезок интегрирования разбить на частичные , внутри каждого из которых функции f(x) и f'(x) сохраняют постоянный знак.

Для общей ориентировки следует построить график функции f(x) .

Если подынтегральная функция задана табличными значениями , то строго говоря нет возможности оценить погрешность . Через конечную систему точек можно провести бесчисленное множество кривых .

Использование квадратурных формул возможно лишь тогда , когда в какой-то мере известно поведение функции вне обозначенных точек.