Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Vychmat_lektsii / Лекция 12 продолжение МКЭ

.doc
Скачиваний:
16
Добавлен:
19.07.2019
Размер:
201.22 Кб
Скачать

Лекция 12 25.04.07

Компоненты напряжений связаны с компонентами деформации законом Гука , где [D] – матрица упругих констант Используются известные соотношения закона Гука , соотношения между компонентами деформаций и напряжений, положения о связи между стационарными значениями полными потенциальной энергии и истинными перемещениями.

Рис.2 Нумерация перемещений узлов конечного треугольного элемента

I,J,K – номера узлов,

U2i-1,U2j-1,U2k-1 – горизонтальные перемещения,

U2i,U2j,U2k - вертикальные перемещения.

П

i

j

k

U2k-1

U2j

U2i

U2j-1

U2k-1

Y

X

еремещения внутри треугольного конечного элемента вычисляются c помощью интерполяционного полинома

(5)

где (e) - горизонтальное или вертикальное перемещение;

e – номер элемента;

1,2,3 – коэффициенты полинома;

X,Y – координаты точки внутри элемента.

Коэффициенты полинома определяются из условий Лагранжа

Подставив эти условия в (5) получим систему уравнений

, (6)

где i,j,k – номера узлов элемента; X,Y – координаты узлов элемента; i,j,k – перемещения узлов; 1,2,3 – коэффициенты полинома.

Тогда интерполяционный полином внутри элемента можно записать в виде

(e) = Nii + Njj + Nkj .

С учетом обозначений на рисунке 1 горизонтальные и вертикальные перемещения внутри элемента можно записать

где Ni, Nj, Nk – функции формы элемента.

Дальнейшие математические операции можно получить из пособия или из специальной литературы

Сетка конечных элементов считается заданной, если определены номера элементов и узлов, и их координаты.

Область, в которой ищется решение предварительно разбивается на несколько фрагментов. Начало координат выбирается произвольно. Выбранная система координат называется глобальной. В каждом фрагменте в вершинах и на сторонах проставляются узловые точки. На плоскости X,Y задаются координаты узловых точек.

Каждый фрагмент отображается на квадрат с локальными координатами ,. Начало координат , выбирается в центре квадрата. Координаты  и  изменяются от -1 до 1. Такая система координат называется естественной.

В локальной системе координат фрагмент разбивается на прямоугольники. Полученные в локальной системе координат новые узловые точки отображаются обратно в глобальную систему координат по формулам

где Xi, Yi - глобальные координаты узлов фрагмента; Ni(,) - функции формы; X,Y - координаты новых узлов фрагмента, полученные после разбиения; 8 - начальное количество узлов фрагмента.

В качестве фрагментов используют четырехугольные элементы с восемью узлами. Функции Ni представляют собой полиномы второго порядка относительно локальных координат  и . Поэтому отображение (7) будет квадратичным, а стороны элементов - параболы. Квадратичное отображение позволяет строить дискретную модель области с криволинейными границами.

Функции формы в выражении (7) для квадратичного отображения имеют вид

N1=-0.25*(1-)*(1-)*(++1);

N3= 0.25*(1+)*(1-)*(--1);

N5= 0.25*(1+)*(1+)*(+-1);

N7=-0.25*(1-)*(1+)*(-+1);

N2 = 0.5*(1-2)*(1-);

N4 = 0.5*(1-2)*(1+); (26)

N6 = 0.5*(1-2)*(1+);

N8 = 0.5*(1-2)*(1-).

Для построения сетки элементов необходимо выполнить следующие действия:

1. Заданную область предварительно разбить на четырехугольные фрагменты с восемью узлами. Выбирается глобальная система координат, в которой задаются X и Y координаты узлов.

2. В каждом фрагменте выбирается локальная система координат. Задается матрица связности фрагментов. Стороны фрагмента нумеруются в соответствии с рисунком

3.Фрагмент отображается на квадрат ( квадратичное отображение) в локальной

системе координат.

4. Номера граничных узлов сохраняются и используются при рассмотрении соседних фрагментов. Все узлы, пронумерованные ранее, пропускаются.

5. Составляется матрица связности фрагментов.

6. В каждом фрагменте задается количество разбиений (число строк и столбцов) и номера узлов фрагмента. Количество разбиений фрагмента зависит от требуемой точности вычислений напряженно-деформированного состояния и окончательно определяется после серии расчетов.

Рассмотрим два случая разбиения на фрагменты:

1.Случай нагрузки на арку .

Есть сосредоточенная сила и заделка на основаниях . Балка симметрична , поэтому рассматривается половина и вводятся условия симметрии для перемещений, т.е. в данном случае горизонтальная компонента перемещений в узлах на оси симметрии будет =0.

Составляется матрица связности фрагментов.

Номера фрагментов

Стороны фрагментов

1

2

3

4

1

2

0

0

0

2

0

0

1

0

Данные о разбиении и узлах фрагментов

Номер фрагмента.

строки

столбцы

1

2

3

4

5

6

7

8

1

9

9

6

7

8

5

3

2

1

4

2

9

9

11

12

13

10

8

7

6

9

В результате различных разбиений можно сравнить результат по одной и той же координате

Второй пример. Задача кручения стержня. :

В основе теории кручения стержней с произвольной формой сечения моментом Mk относительно оси z (Рис.1) лежит гипотеза Сен-Венана .

Согласно этой гипотезе, деформация скручиваемого стержня состоит из двух частей: 1)поворотов поперечных сечений стержня, аналогичных поворотам стержня с круглым сечением, и 2) депланации (искривления) поперечных сечений, которая одинакова для всех сечений. Аналитическое решение задачи о кручение стержней произвольного сечения рассмотрено С.П. Тимошенко [1].

Касательные напряжения в произвольной точке сечения скручиваемого стержня могут быть вычислены по формулам

Выполнение работы с помощью программы PRFEM.

Деталь для расчёта будет иметь вид:

Таблица соединения фрагментов.

Номер фрагмента

Стороны фрагмента

1

2

3

4

1

2

0

0

0

2

0

0

1

3

3

0

2

0

0

Таблица данных о разбиении фрагментов и

связи глобальных и локальных номеров узлов.

Номер

фрагмента

ξ

строки

η

столбцы

1

2

3

4

5

6

7

8

1

6

10

13

14

7

8

9

10

11

12

2

10

10

3

4

5

6

7

14

13

18

3

10

6

1

2

3

18

13

15

16

17

Сравним метод конечных разностей и метод конечных элементов.

МКР

МКЭ

Вид постановки

Решает готовое ДУ

Решает задачу , которая можно свести к ДУ

Постановка , ввод предварительной информации

Простая постановка, мало ввода ПрИнф

Сложная постановка , много ввода ПрИнф

Способ перехода к численному решению

Обычно использование правильной сетки

Большой выбор форм конечных элементов

Запись граничных условий

Затруднение в граничных условиях

Удобен для записи граничных условиях

Использование для различных сред или смешанных задач

Плохо приспособлен для таких случаев

Хорош для неоднородных и анизотропных случаев

Исполнение , программирование

Прост в использовании

Требует достаточной квалификации и опыта

Решение уравнений методом Монте-Карло

Рассмотрим решение задачи Дирихле уравнения Лапласа методом случайных блужданий:

В качестве иллюстрации сути метода рассмотрим игру «Блуждающий пьяница».

Правила игры:

  1. Блуждания пьяницы начинаются из произвольной точки сетки ( это точка А)

  1. На каждом шаге пьяница случайным образом перемещается в одну из соседних точек. Вероятность попадания в каждую из точек равна 0,25.

  2. После перехода в соседнюю точку процесс блуждания возобновляется. Перемещения продолжаются до тех пор , пока пьяница не достигнет одной из граничных точек Pi . Номер граничной точки фиксируется и на этом случайная прогулка заканчивается.

  3. Производим повторение шагов 1-3 достаточное количество раз и определим количество посещений пьяницей каждой граничной точки. Отношение числа посещений каждой граничной точки к полному числу испытаний определяет вероятность попаданий в данную точку границы.

  4. Предположим , что за попадание в точку Pi назначено вознаграждение gi и цель игры – вычислить среднее вознаграждение R(A) для всех случайных прогулок, начинающихся из точки А. Тогда искомый средний выигрыш определяется:

Для чего эта аналогия?

Оказывается , среднее вознаграждение является решением задачи Дирихле в точке А. Данный вывод основан на двух фактах:

  • Предположим , что пьяница начал свое движение из точки , лежащей на границе. Каждая такая прогулка заканчивается в той же точке , и немедленно получает вознаграждение gi, т.е. среднее вознаграждение для каждой точки равно gi.

  • Теперь пусть прогулка начинается из внутренней точки. Тогда ясно . что среднее вознаграждение для точки будет средним арифметическим от средних вознаграждений для четырех соседних точек:

Видно , что R(A) удовлетворяет полученному уравнению в каждой внутренней точке и равно gi в граничной точке.

Тогда если gi это значение функции g(x,y) из граничного условия в граничных точках Pi , то два наших уравнения точно совпадают с двумя уравнениями , полученными методом конечных разностей:

9

стр. из 9