Vychmat_lektsii / Лекция 12 продолжение МКЭ
.docЛекция 12 25.04.07
Компоненты напряжений связаны с компонентами деформации законом Гука , где [D] – матрица упругих констант Используются известные соотношения закона Гука , соотношения между компонентами деформаций и напряжений, положения о связи между стационарными значениями полными потенциальной энергии и истинными перемещениями.
Рис.2
Нумерация
перемещений узлов конечного треугольного
элемента
I,J,K
– номера узлов,
U2i-1,U2j-1,U2k-1
– горизонтальные перемещения,
U2i,U2j,U2k
- вертикальные
перемещения.
П
i j k
U2k-1
U2j
U2i
U2j-1
U2k-1 Y X
(5)
где (e) - горизонтальное или вертикальное перемещение;
e – номер элемента;
1,2,3 – коэффициенты полинома;
X,Y – координаты точки внутри элемента.
Коэффициенты полинома определяются из условий Лагранжа
Подставив эти условия в (5) получим систему уравнений
, (6)
где i,j,k – номера узлов элемента; X,Y – координаты узлов элемента; i,j,k – перемещения узлов; 1,2,3 – коэффициенты полинома.
Тогда интерполяционный полином внутри элемента можно записать в виде
(e) = Nii + Njj + Nkj .
С учетом обозначений на рисунке 1 горизонтальные и вертикальные перемещения внутри элемента можно записать
где Ni, Nj, Nk – функции формы элемента.
Дальнейшие математические операции можно получить из пособия или из специальной литературы
Сетка конечных элементов считается заданной, если определены номера элементов и узлов, и их координаты.
Область, в которой ищется решение предварительно разбивается на несколько фрагментов. Начало координат выбирается произвольно. Выбранная система координат называется глобальной. В каждом фрагменте в вершинах и на сторонах проставляются узловые точки. На плоскости X,Y задаются координаты узловых точек.
Каждый фрагмент отображается на квадрат с локальными координатами ,. Начало координат , выбирается в центре квадрата. Координаты и изменяются от -1 до 1. Такая система координат называется естественной.
В локальной системе координат фрагмент разбивается на прямоугольники. Полученные в локальной системе координат новые узловые точки отображаются обратно в глобальную систему координат по формулам
где Xi, Yi - глобальные координаты узлов фрагмента; Ni(,) - функции формы; X,Y - координаты новых узлов фрагмента, полученные после разбиения; 8 - начальное количество узлов фрагмента.
В качестве фрагментов используют четырехугольные элементы с восемью узлами. Функции Ni представляют собой полиномы второго порядка относительно локальных координат и . Поэтому отображение (7) будет квадратичным, а стороны элементов - параболы. Квадратичное отображение позволяет строить дискретную модель области с криволинейными границами.
Функции формы в выражении (7) для квадратичного отображения имеют вид
N1=-0.25*(1-)*(1-)*(++1); N3= 0.25*(1+)*(1-)*(--1); N5= 0.25*(1+)*(1+)*(+-1); N7=-0.25*(1-)*(1+)*(-+1); |
N2 = 0.5*(1-2)*(1-); N4 = 0.5*(1-2)*(1+); (26) N6 = 0.5*(1-2)*(1+); N8 = 0.5*(1-2)*(1-). |
Для построения сетки элементов необходимо выполнить следующие действия:
1. Заданную область предварительно разбить на четырехугольные фрагменты с восемью узлами. Выбирается глобальная система координат, в которой задаются X и Y координаты узлов.
2. В каждом фрагменте выбирается локальная система координат. Задается матрица связности фрагментов. Стороны фрагмента нумеруются в соответствии с рисунком
3.Фрагмент отображается на квадрат ( квадратичное отображение) в локальной
системе координат.
4. Номера граничных узлов сохраняются и используются при рассмотрении соседних фрагментов. Все узлы, пронумерованные ранее, пропускаются.
5. Составляется матрица связности фрагментов.
6. В каждом фрагменте задается количество разбиений (число строк и столбцов) и номера узлов фрагмента. Количество разбиений фрагмента зависит от требуемой точности вычислений напряженно-деформированного состояния и окончательно определяется после серии расчетов.
Рассмотрим два случая разбиения на фрагменты:
1.Случай нагрузки на арку .
Есть сосредоточенная сила и заделка на основаниях . Балка симметрична , поэтому рассматривается половина и вводятся условия симметрии для перемещений, т.е. в данном случае горизонтальная компонента перемещений в узлах на оси симметрии будет =0.
Составляется матрица связности фрагментов.
Номера фрагментов |
Стороны фрагментов |
|||
1 |
2 |
3 |
4 |
|
1 |
2 |
0 |
0 |
0 |
2 |
0 |
0 |
1 |
0 |
Данные о разбиении и узлах фрагментов
Номер фрагмента. |
строки |
столбцы |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
1 |
9 |
9 |
6 |
7 |
8 |
5 |
3 |
2 |
1 |
4 |
2 |
9 |
9 |
11 |
12 |
13 |
10 |
8 |
7 |
6 |
9 |
В результате различных разбиений можно сравнить результат по одной и той же координате
Второй пример. Задача кручения стержня. :
В основе теории кручения стержней с произвольной формой сечения моментом Mk относительно оси z (Рис.1) лежит гипотеза Сен-Венана .
Согласно этой гипотезе, деформация скручиваемого стержня состоит из двух частей: 1)поворотов поперечных сечений стержня, аналогичных поворотам стержня с круглым сечением, и 2) депланации (искривления) поперечных сечений, которая одинакова для всех сечений. Аналитическое решение задачи о кручение стержней произвольного сечения рассмотрено С.П. Тимошенко [1].
Касательные напряжения в произвольной точке сечения скручиваемого стержня могут быть вычислены по формулам
Выполнение работы с помощью программы PRFEM.
Деталь для расчёта будет иметь вид:
Таблица соединения фрагментов.
Номер фрагмента |
Стороны фрагмента |
|||
1 |
2 |
3 |
4 |
|
1 |
2 |
0 |
0 |
0 |
2 |
0 |
0 |
1 |
3 |
3 |
0 |
2 |
0 |
0 |
Таблица данных о разбиении фрагментов и
связи глобальных и локальных номеров узлов.
Номер фрагмента |
ξ строки |
η столбцы |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
1 |
6 |
10 |
13 |
14 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
2 |
10 |
10 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
14 |
13 |
18 |
3 |
10 |
6 |
1 |
2 |
3 |
18 |
13 |
15 |
16 |
17 |
Сравним метод конечных разностей и метод конечных элементов.
|
МКР |
МКЭ |
Вид постановки |
Решает готовое ДУ |
Решает задачу , которая можно свести к ДУ |
Постановка , ввод предварительной информации |
Простая постановка, мало ввода ПрИнф |
Сложная постановка , много ввода ПрИнф |
Способ перехода к численному решению |
Обычно использование правильной сетки |
Большой выбор форм конечных элементов |
Запись граничных условий |
Затруднение в граничных условиях |
Удобен для записи граничных условиях |
Использование для различных сред или смешанных задач |
Плохо приспособлен для таких случаев |
Хорош для неоднородных и анизотропных случаев |
Исполнение , программирование |
Прост в использовании |
Требует достаточной квалификации и опыта |
|
|
|
Решение уравнений методом Монте-Карло
Рассмотрим решение задачи Дирихле уравнения Лапласа методом случайных блужданий:
В качестве иллюстрации сути метода рассмотрим игру «Блуждающий пьяница».
Правила игры:
-
Блуждания пьяницы начинаются из произвольной точки сетки ( это точка А)
-
На каждом шаге пьяница случайным образом перемещается в одну из соседних точек. Вероятность попадания в каждую из точек равна 0,25.
-
После перехода в соседнюю точку процесс блуждания возобновляется. Перемещения продолжаются до тех пор , пока пьяница не достигнет одной из граничных точек Pi . Номер граничной точки фиксируется и на этом случайная прогулка заканчивается.
-
Производим повторение шагов 1-3 достаточное количество раз и определим количество посещений пьяницей каждой граничной точки. Отношение числа посещений каждой граничной точки к полному числу испытаний определяет вероятность попаданий в данную точку границы.
-
Предположим , что за попадание в точку Pi назначено вознаграждение gi и цель игры – вычислить среднее вознаграждение R(A) для всех случайных прогулок, начинающихся из точки А. Тогда искомый средний выигрыш определяется:
Для чего эта аналогия?
Оказывается , среднее вознаграждение является решением задачи Дирихле в точке А. Данный вывод основан на двух фактах:
-
Предположим , что пьяница начал свое движение из точки , лежащей на границе. Каждая такая прогулка заканчивается в той же точке , и немедленно получает вознаграждение gi, т.е. среднее вознаграждение для каждой точки равно gi.
-
Теперь пусть прогулка начинается из внутренней точки. Тогда ясно . что среднее вознаграждение для точки будет средним арифметическим от средних вознаграждений для четырех соседних точек:
Видно , что R(A) удовлетворяет полученному уравнению в каждой внутренней точке и равно gi в граничной точке.
Тогда если gi это значение функции g(x,y) из граничного условия в граничных точках Pi , то два наших уравнения точно совпадают с двумя уравнениями , полученными методом конечных разностей: