14

стр. 14 из 14

Лекция 1 07.02.2007 Численное интегрирование

Потребность в приближенном вычислении интегралов возникает тогда, когда не существует или неизвестен метод отыскания точного значения интеграла или когда этот метод является сложным или неприемлемым по каким-либо соображениям. В случае же задания функции в табличной форме приближенные методы являются единственными.

Все приближенные методы основаны на следующем положении: рассматривая интеграл как площадь криволинейной трапеции, можно получить его приближенное значение, если вычислить площадь другой трапеции, ограничивающая линия которой по возможности мало отличается от заданной. В зависимости от вида этой кривой составлены различные формулы приближенных вычислений интеграла. Поскольку эти формулы основаны на вычислении площади криволинейных трапеций, то они получили название квадратурных (от лат. quadratura – вычисление площади, квадрирование). В самом общем виде задачу вычисления интеграла можно представить ,

где f(x) - аппроксимирующая функция;

Rn -остаточный член (погрешность усечения).

В качестве аппроксимирующей функции чаще всего пользуются алгебраическими или интерполяционными полиномами различных степеней. Для упрощения формул отрезок интегрирования [a , b] разбивают на n равных частичных интервалов системой точек x = x₀, x₁, . . . , x_n с шагом интегрирования h=(b-a)/n и вычисляют функцию в полученных узлах y_i=f(x_i) (i=0,1,…,n).

1.1. Методы прямоугольников

На каждом частичном интервале [x_i , x_i+1 ] заменяют аппроксимирующую функцию f(x) полиномом нулевой степени, т.е. константой, равной значению функции. Здесь возможны, как минимум, три варианта.

1. Значение функции является левой точкой частичного интервала [x_i , x_i+1 ] (Рис.1). Тогда значение интеграла принимается равным сумме площадей элементарных прямоугольников, вычисляемой по формуле

. (1)

Ее называют первой формулой прямоугольников или формулой прямоугольников с левыми ординатами.

2. Значение функции является правой точкой частичного интервала [x_i , x_i+1 ] (Рис.2). Тогда значение интеграла принимается равным сумме площадей элементарных прямоугольников, вычисляемой по формуле

. (2)

Ее называют второй формулой прямоугольников или формулой прямоугольников с правыми ординатами.

Рис.1. Метод левых ординат	Рис.2. Метод правых ординат	Рис.3. Метод средних

3. Значение функции является средней точкой частичного интервала [x_i , x_i+1 ] (Рис.3). Тогда значение интеграла принимается равным сумме площадей элементарных прямоугольников, вычисляемой по формуле

. (3)

Ее называют третьей формулой прямоугольников или формулой метода средних.

1.2. Метод трапеций

На каждом частичном интервале [x_i , x_i+1 ] заменяют аппроксимирующую функцию f(x) полиномом Лагранжа первой степени, т.е. применяют линейную интерполяцию. График функции в этом случае представляет ломаную линию, соединяющую точки (x_i, y_i ) (Рис.4). В этом случае площадь всей фигуры складывается из площадей элементарных прямоугольных трапеций, равных s_i=h(y_i-1+y_i)/2 (i=1,2,…,n) . Сумма этих площадей и представляет формулу трапеций

.