2.Точность вычислений ( теория погрешностей)

Без достоверных количественных оценок близости численных ответов к искомым точным значениям результаты вычислений бесполезны или, хуже того, вредны, а в особых ситуациях даже опасны.

Варианты оценок таковы:

• строгие предельные аналитические оценки (по принципу «не хуже, чем…»;

• усреднённые аналитические оценки (по средним значениям производных);

• вероятностные оценки, чаще всего на основе нормального распределения;

• статистические оценки на основе обработки массива тестовых задач;

• эвристические оценки на основе доводов «здравого смысла».

У каждого варианта свои плюсы и минусы. Так, первый даёт гарантию, но оценки обычно крайне пессимистичны; последний ничего не гарантирует, но поддержанный опытом эксперта нередко вполне реалистичен. Видимо, в особо ответственных случаях целесообразно комбинировать оценки.

2.1.Источники и классификация погрешностей

Источниками возникновения погрешности численного решения задачи могут быть следующие факторы:

• Неточность математического описания ( например экспериментальные начальные данные )

• Неточность численного метода ( ограничения количества арифметических операций вычисления)

• Конечная точность машинного счета

Виды погрешностей :

• Неустранимая погрешность – состоит из двух частей : неточность задания числовых данных и погрешность математической модели

• Погрешность метода – связана со способом решения поставленной математической задачи. Считается устранимой ( условной).

• Вычислительная погрешность – или погрешность округлений обусловлена необходимостью выполнять действия над усеченными числами( до определенного количества разрядов) .

Внешними источниками считают (по отношению к вычислительному процессу) погрешности принятой модели задачи и погрешности входных параметров. Первые из них сложно количественно оценить, но можно учесть качественный признак степени «грубости» этой модели. Погрешности параметров практически неизбежны, но их, по крайней мере, можно и нужно оценивать. Те и другие не могут быть устранены какими-либо средствами или приёмами вычислений, их часто называют неустранимыми.

Внутренними будем считать специфические погрешности используемых численных методов и погрешности реализации этих методов из-за округлений, приближенного представления стандартных функций и некоторых иных причин. Уровни этих погрешностей можно регулировать выбором методов и их параметров, выбором оптимальной последовательности операций, заданием режимов вычислений с увеличенной значностью, количеством разрядов, выбором методов формирования стандартных функций и др.

Рис.2.1. Классификация погрешностей компьютерного решения

Рассмотрим пример:

Предсказать угол отклонения маятника от вертикали  , начинающего движение в момент времени t=t₀ .

Движение маятника описывается ДУ II порядка:

Причины возникновения погрешностей:

1. Реальная сила трения зависит от скорости движения маятника по нелинейному закону

2. Значения начальных величин известны с погрешностями

3. У численных методов решения ОДУ II порядка существует погрешность

4. Существует вычислительная погрешность компьютерного счета