Метод простой итерации

Базовое уравнение f(x)= по аналогии со скалярным вариантом приводится к эквивалентной векторной форме

и организуется процесс

Если выполняются определённые условия, то предел x_ создаваемой последовательности при k совпадает с искомым вектором x*.

У вектор-функции (x) также есть матрица Якоби со структурой (x), но вместо частных производных функций f_n(x₁, x_2,…x_n) матрица(x) будет состоять из частных производных функций _n(x₁, x₂,…x_n).

Условие сходимости простой итерации определяется именно через матрицу Якоби (x), и формально определяется так:

в каждом столбце или в каждой строке (x), модуль диагонального элемента больше суммы модулей остальных элементов этого столбца или этой строки.

Подчеркнём, что это относится ко всем циклам итерации, так как по мере развития процесса значения частных производных изменяются.

В данном случае также может быть применим метод Зейделя и его многомерный аналог называется методом покоординатных итераций.

Критерии завершения процесса те же, что и для метода Ньютона.

Потоковая технология задания нулевых приближений

Успех итерационного решения существенно зависит от удачного выбора нулевых приближений. Аналитические методы редко позволяют это сделать. За счет определённых дополнительных компьютерных вычислений можно во многих случаях получить соответствующую информацию. Для этого нужно создать такой искусственный параметризованный поток вариантов задачи, что для одного элемента этого потока выбор нулевого приближения прост, а для других элементов он определяется по принципу «новый результат как функция предыдущего». Поток может быть естественным, если в задаче имеется подходящий параметр, или искусственным.

Поясним это на примере уравнения с одним неизвестным.

Пусть требуется решить методом простой итерации уравнение e^-x–x=0, не имеющее аналитического решения. Используем форму x= e^-x; на рисунке

y

x+0.8

Рисунок

это пересечение нижней прямой y=x с экспонентой. Введём в задачу искусственный параметр : x+= e^-x. Очевидно, при =0 новое параметризованное уравнение будет совпадать с первоначальным. Теперь присвоим  значение 1. Это пересечение верхней прямой y=x+1 с экспонентой Видно, что корень нового уравнения x*(=1)=0. Теперь пусть =0.8. Прямая y=x+0.8 линия опустилась, корень уравнения x(=0,8) сместится вправо. Вычисление этого корня проведём при нулевом приближении x₀=x*(=1) Близость x₀ к искомому результату позволит быстро решить уравнение. В данном случае x*(0.8)= 0.103 . Снова уменьшим  на 0.2. Корень х(=0.6) будем вычислять уже при нулевом приближении x₀= 0.103 и получим x*(0.6)= 0.210.

Раз за разом уменьшая , получим x*(0.4)= 0.324, x*(0.2)=0.424 и, наконец, вернёмся при =0 к первоначальному уравнению, и при нулевом приближении x₀=0.424 получим результат x*=x*(0) =0.567.

Чем меньше шаг изменения параметра, тем надежнее будет процесс и быстрее будут сходиться итерации на каждом уровне, но, разумеется, при большем количестве уровней.

Баланс суммарного количества операций зависит от вида уравнения, но фактор надёжности может доминировать и при балансовой выгоде крупного шага.

Принципиальное условие применимости процесса – непрерывность решения по параметру , что в большинстве случаев можно обеспечить.

Точность квадратурной формулы при фиксированном числе узлов существенно зависит от расположения этих узлов. При неудачно расположении узлов квадратурная формула может дать весьма искаженные результаты.

Вообще при наличии большого числа нулей подынтегральной функции или при наличии большого числа экстремумов ( когда производная f'(x) равна нулю) точность кв. формул резко понижается. Шаг h следует выбирать так , чтобы он был намного меньше расстояний между соседними нулями функции f(x) и ее производной f'(x) .

Для этого рекомендуется основной отрезок интегрирования разбить на частичные , внутри каждого из которых функции f(x) и f'(x) сохраняют постоянный знак.

Для общей ориентировки следует построить график функции f(x) .

Если подынтегральная функция задана табличными значениями , то строго говоря нет возможности оценить погрешность . Через конечную систему точек можно провести бесчисленное множество кривых .

Использование квадратурных формул возможно лишь тогда , когда в какой-то мере известно поведение функции вне обозначенных точек.