2. Структурные средние.
Особым видом средних величин являются структурные средние. Они применяются для изучения внутреннего строения и структуры рядов распределения значений признака. К таким показателям относятся мода и медиана.
Мода - это величина признака (варианта), который наиболее часто встречается в данной совокупности, т.e. это варианта, имеющая наибольшую частоту.
В
интервальном ряду распределения мода
находится по следующей формуле:
где:
нижняя граница модального интервала;
h - величина модального интервала;
частоты
модального интервала, предшествующего
и следующего за ним
Модальный интервал определяется по наибольшей частоте. Мода широко используется в статистической практике при изучении покупательского спроса, регистрации цен и т.д.
Медиана - варианта, находящаяся в середине ряда распределения.
Медиана делит ряд на две равные (по числу единиц) части.
В случае если вариационный ряд имеет число значений вариант четное, то медиана равна средней арифметической двух центральных значений.
В
интервальном ряду распределения медиана
рассчитывается следующим образом:
где:
- нижняя граница медианного интервала;
h - величина медианного интервала;
-
полусумма частот ряда или полуобъем
выборки;
-
сумма накопленных частот, предшествующих
медианному интервалу;
-
частота медианного интервала.
Структурные
средние величины (мода и медиана) имеют
довольно большое значение в статистике
и широкое применение. Мода является
именно тем числом, которое в действительности
встречается наиболее часто. Медиана
имеет важные свойства для анализа
явлений: она обнаруживает типичные
черты индивидуальных признаков явления,
и, вместе с тем, учитывает влияние крайних
значений совокупности. Медиана находит
практическое применение в маркетинговой
деятельности вследствие особого свойства
– сумма абсолютных отклонений чисел
ряда от медианы есть величина наименьшая:
Мода и медиана, как правило, отличаются от значения средней, совпадая с ней, только в случае симметричного расположения частот вариационного ряда.
Пример Дан дискретный вариационный ряд
x |
2 |
5 |
8 |
11 |
13 |
17 |
n |
101 |
100 |
201 |
121 |
231 |
122 |
Вычислить моду и медиану.
Решение.
Наибольшая
частота n=
231, значит мода равна
=
13.
Ряд
четный, значит медиана равна:
Пример Найдите моду и медиану распределения роста 1000 взрослых мужчин:
Рост, см |
Число мужчин |
143-146 |
1 |
146-149 |
2 |
149-152 |
8 |
152-155 |
26 |
155-158 |
65 |
158-161 |
120 |
161-164 |
181 |
164-167 |
201 |
167-170 |
170 |
170-173 |
120 |
173-176 |
64 |
176-179 |
28 |
179-182 |
10 |
182-185 |
3 |
185-188 |
1 |
Решение.
1) Наибольшая частота 201, значит модальный интервал 164-167. Таким образом,
.
2) Интервал, находящийся в середине (медианный) 164-167.
∑
=
500;
=
1+2+8+26+65+120+181=403.
Таким образом,
