Практическая работа 1: Множества и операции над ними

1. Краткие сведения из теории

Множество – это совокупность предметов произвольной природы, объединенных в единое целое по какому – либо признаку, либо простым перечислением предметов, входящих в эту совокупность. Предметы, входящие в такую совокупность, называются элементами множества. Запись: означает, что элемент принадлежит множеству (содержится во множестве) . Запись: означает, что элемент не принадлежит множеству (не содержится во множестве) . Утверждение, что множество состоит из элементов и только из них коротко записывается так: .

Два множества и называются равными, если они состоят из одних и тех же элементов; в этом случае пишут . Например, , потому что оба множества состоят из одних и тех же элементов. В то же время , потому что элементом второго множества является множество , которого нет среди элементов первого множества.

Если множество не содержит ни одного элемента, оно называется пустым и обозначается символом . Если же множество содержит все элементы, которые, в принципе, можно использовать при задач той или иной науки, то в данной науке такое множество называют универсальным и обозначают буквой .

Для наглядного представления множеств используется их геометрическое изображение с помощью диаграмм Эйлера. Универсальное множество обычно изображается в виде квадрата. Любое другое множество изображается в виде некоторой фигуры внутри квадрата (см. рис. 1).

Множество называется подмножеством множества (иначе: множество включается во множество ), если любой элемент множества принадлежит множеству . В таком случае пишут . Включение множеств изображено на рис.2.

Множество называется дополнением множества до универсального, если множество содержит только те элементы, которые не принадлежат множеству . Множества и изображены на рис 3.

Над множествами можно проводить некоторые операции; рассмотрим основные из них. Пусть имеются множества и .

Объединением множеств и называется новое множество , содержащее элементы или множества , или множества , или их общие элементы. Множество изображено на рис 4.

Пересечением множеств и называется новое множество , содержащее только общие элементы множеств и . Множество изображено на рис 5. Множества, не имеющие общих элементов, называются непересекающимися. Ясно, что для непересекающихся множеств .

Разностью множеств и называется новое множество , содержащее только те элементы множества , которые не содержатся во множестве . Множество изображено на рис 6.

2. К онтрольные вопросы и упражнения

1. Какой объект называется множеством? элементом множества?

2. Что означает запись: ?

3. Какое множество называется пустым? универсальным?

4. Что понимается под диаграммами Эйлера?

5. Что означает запись ?

6. Дайте определение множеств: ? Дайте геометрическое толкование этих множеств.

7. Какие множества называются непересекающимися?

8. С помощью диаграмм Эйлера докажите тождества: а) ; б) ; в) .

9. Равны между собой множества и ? Если нет, то почему? а) ; б) ; в) ; г) .

10. Какие из утверждений верны / неверны и почему? а) подмножество ; б) включается в ; в) включается в ; г) подмножество ; д) включается в ; е) и непересекающиеся множества.

11. Пусть множество зоологических объектов (универсальное множество), множество обезьян, множество млекопитающих, множество грызунов, множество насекомых, человек, шимпанзе, хомяк, кузнечик. Какие из утверждений верны / неверны и почему? а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) ; ж) ; з) ; и) ; к) ; л) ; м) ; н) .

12. В элементарной геометрии используется универсальное множество понятий {точка, прямая, окружность, эллипс, гипербола, парабола, параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат, трапеция, круг, куб, параллелепипед, призма, пирамида, цилиндр, конус, шар}. Найдите следующие множества: а) множество линий; б) множество фигур; в) множество тел; г) множество четырехугольников; д) множество тел вращения; е) ; ж) ; и) ; к) ; л) ; м) {эллипс}; н) {эллипс}.

13. Пусть множество цифр (универсальное множество), , . Найти множества: а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) ; ж) ; з)

14. Пусть множество первых 20 натуральных чисел (универсальное множество), множество четных чисел; множество чисел, кратных 3; множество чисел, кратных 5; множество чисел, кратных 7. Найти множества: а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) ; ж) ; з) ; и) .

15. Даны два множества вещественных чисел и . Найти множества: , , , , , .

16. Для проведения статистического контроля выбрана студенческая группа (универсальное множество ), с именами студентов: Аня, Вика, Галя, Денис, Дима, Зоя, Иван, Игорь, Лена, Маша, Наташа, Нина, Николай, Олег, Роман, Света, Сергей, Федя, Тарас, Тимофей, Яков. Известно, что Аня, Галя, Зоя, Игорь, Маша, Николай, Олег, Роман, Яков имеют возраст до 20 лет; Вика, Лена, Сергей – отличники; Галя, Денис, Игорь, Маша, Николай учатся на 4 и 5; Нина, Света, Федя имеют двойки. Найти следующие множества: множество девушек старше 20 лет; множество юношей старше 20 лет; множество девушек, не имеющих двоек; множество юношей, не имеющих двоек; множество отличников старше 20 лет; множество отличников моложе 20 лет; множество неуспевающих студентов старше 20 лет; множество неуспевающих студентов моложе 20 лет; множество «троечников»; множество «троечников» старше 20 лет; множество «троечников» моложе 20 лет.