3. Интегральное исчисление

Первообразная функции, неопределенный интеграл и его свойства. Таблица неопределенных интегралов основных элементарных функций.

Методы интегрирования. Замена переменной в неопределенном интеграле. Формула интегрирования по частям. Интегрирование простейших дробей. Интегрирование рациональных функций. Теорема о разложении правильной рациональной дроби в сумму простейших дробей. Интегрирование простейших тригонометрических функций.

Понятие определенного интеграла, теорема существования. Геометрический смысл определенного интеграла. Основные свойства.

Формула Ньютона-Лейбница. Замена переменной в определенном интеграле, формула интегрирования по частям.

Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования. Несобственные интегралы от неограниченной функции. Сходимость несобственных интегралов.

Приложение определенных интегралов к вычислению площадей плоских фигур, длин дуг кривых, объемов тел. Приложение определенного интеграла в экономике.

4. Обыкновенные дифференциальные уравнения

Обыкновенные дифференциальные уравнения. Общее решение, общий интеграл. Задача Коши.

Дифференциальные уравнения 1-го порядка. Дифференциальные уравнения с разделенными и разделяющимися переменными. Общее решение. Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка.

5. Числовые и степенные ряды

Определение числового ряда, сходимость. Свойства числовых рядов. Необходимый признак сходимости числового ряда. Геометрический ряд, гармонический ряд, их сходимость.

Признаки сходимости положительных числовых рядов: признак Д’Аламбера, признак Коши, интегральный признак сходимости.

Знакочередующиеся ряды. Абсолютная и условная сходимость.

Определение степенного ряда. Радиус сходимости, интервал сходимости, область сходимости степенного ряда. Дифференцирование и интегрирование степенных рядов.

Ряд Тейлора, ряд Маклорена для функции. Ряд Маклорена для функций е^х, ln (1 + x), sin x, cos x. Приложения степенных рядов.

Примерный перечень вопросов к экзамену по разделу “Основы математического анализа”

1. Понятие функции одной переменной. Основные характеристики функций: области определения и значений, периодичность, максимумы, минимумы, экстремумы.

2. Основные элементарные функции и их свойства.

3. Предел функции в точке. Типы пределов.

4. Бесконечно малые и бесконечно большие функции.

5. Основные правила вычисления пределов. Замечательные пределы.

6. Непрерывность функции в точке и на промежутке. Точки разрыва.

7. Производная функции и ее смысл.

8. Правила дифференцирования функций.

9. Производные основных элементарных функций.

10. Производные высших порядков.

11. Раскрытие неопределенностей. Правило Лопиталя.

12. Дифференциал функции и его связь с производной.

13. Использование дифференциала в приближенных вычислениях.

14. Общая схема построения эскизов графиков функций.

15. Понятие функции нескольких независимых переменных. Предел и непрерывность.

16. Частные производные функций нескольких независимых переменных.

17. Полный дифференциал и его связь с частными производными.

18. Экстремумы функций 2-х и более переменных. Необходимые и достаточные условия.

19. Неопределенный интеграл и его свойства.

20. Неопределенные интегралы от основных элементарных функций.

21. Замена переменной в неопределенном интеграле.

22. Интегрирование по частям.

23. Интегрирование рациональных функций.

24. Интегрирование иррациональных функций.

25. Интегрирование выражений, содержащих тригонометрические функции.

26. Определенный интеграл и его свойства.

27. Формула Ньютона-Лейбница.

28. Замена переменной и интегрирование по частям определенного интеграла.

29. Понятие несобственного интеграла, Приложение к решению геометрических и экономических задач.

30. Понятие решения обыкновенного дифференциального уравнения. Дифференциальные уравнения 1-го порядка. Задача Коши.

31. Дифференциальные уравнения с разделенными и разделяющимися переменными.

32. Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка.

33. Сходящиеся числовые последовательности и их свойства.

34. Числовые ряды. Признаки сходимости.

35. Степенные ряды. Радиус и интервал сходимости.

36. Ряды Тейлора и Маклорена.

37. Разложение основных элементарных функций в степенные ряды.

38. Приложение степенных рядов к решению некоторых экономических задач.

Рекомендуемая литература

1. Самаль С. А. и др. Высшая математика. Общий курс: Учебник для студентов экономических специальностей ВУЗов / Под общ. ред. С. А. Са- маля. – Мн.: Выш. шк., 2000.

2. Высшая математика. Общий курс / Под общ. ред. проф. А. И. Яблонского. – Мн.: Выш. шк. 1993.

3. Ведина О. И., Десницкая В. Н., Варфоламеева Г. Б., Тарасюк А. Ф. Математика. Математический анализ для экономистов: Учебник / Под ред. докт. физ.-мат. наук, проф. А. А. Гриба и к.т.н., доцента А. Ф. Тарасюка. – М.: “Фиминъ”, 2000.

4. Жевняк Р. М., Карпук А. А. Высшая математика: Основы аналитической геометрии и линейной алгебры. Введение в анализ. Дифференциальное исчисление функций одной переменной: Учебник. – Мн.: Выш. шк., 1992.

5. Гусак А. А. Высшая математика: В 2 т. – Мн.: Университетское, 1993.

6. Гусак А. А. Задачи и упражнения по высшей математике: В 2 ч. – Мн.: Выш. шк., 1988. – Ч. 1, 2.

7. Сухая Т. А., Бубнов В. Ф. Задачи по высшей математике: Учебное пособие: В 2 ч. – Мн.: Выш. шк., 1993. – Ч. 1, 2.

8. Сборник индивидуальных заданий по высшей математике: Учебное пособие: В 3 ч. / Рябушко А. П. и др. – Мн.: Выш. шк., 1991.