Решение

Скамья Жуковского представляет собой однородный диск, который может свободно вращаться вокруг неподвижной вертикальной оси, проходящей через центр диска перпендикулярно его плоскости. Момент инерции скамьи относительно этой оси равен

(1)

Физическая система состоит из скамьи с человеком. Человека можно считать материальной точкой, по условию, то момент инерции человека относительно этой оси равен

(2)

где r - расстояние от человека до оси вращения. Поскольку момент инерции всей системы относительно оси вращения равен сумме моментов инерции всех тел системы относительно этой же оси, с учетом (1) и (2) имеем

Момент инерции системы относительно оси вращения в первом состоянии равен

Так как в первом случае скамья и человек вращаются относительно оси с одинаковой угловой скоростью ω_с = ω_ч = ω₁, тогда момент импульса системы относительно оси Oz будет равен

Во втором состоянии момент инерции системы относительно оси вращения равен

а поскольку скамья и человек вращаются относительно оси с одинаковой угловой скоростью ω_с = ω_ч = ω₂, момент импульса системы относительно оси Oz будет равен:

Так как моменты внешних сил (сит тяжести и реакции опоры), действующих на систему относительно оси вращения Oz, равны нулю, то момент импульса системы относительно этой оси сохраняется:

(5)

Подставим в (5) выражения (3) и (4):

Т.к. человек перешел в центр круга то r₂=0

откуда масса человека m_ч выражается как

Т.к. Человек вначале стоял на краю скамьи, то R = r₁

Подставляя числовые значения, вычислим массу человека

Ответ: 60 кг

Задача № 145. После вертикального запуска с поверхности Земли и выключения двигателя скорость ракеты на высоте 2,4∙10⁶ м равна 4,7 км/с. Определить максимальную высоту подъема ракеты над поверхностью Земли. Принять, что на ракету действует только сила тяготения со стороны Земли, а масса ракеты остается постоянной. Масса Земли и ее радиус известны.

Решение

Механическая энергия W ракеты, находящейся в гравитационном поле Земли, которое является потенциальным, складывается из кинетической W^k и потенциальной W^p энергий:

W = W^k+W^p. (1)

Кинетическая энергия ракеты массой m, движущейся со скоростью υ, равна

(2)

Потенциальная энергия ракеты в гравитационном поле Земли:

(3)

где G=6,67-10 ¹¹ м³/(кг∙с²) - гравитационная постоянная, М= 5,98∙10²⁴ кг - масса Земли, r=R+h - расстояние от центра Земли до ракеты, R = 6,37-10⁶ м - радиус Земли, h – высота ракеты над поверхностью Земли.

На высоте h₁ ракета обладает скоростью υ₁ тогда согласно (1) с учетом (2) н (3) ее механическая энергия W₁ равна

На высоте h₂ ракета обладает скоростью υ₂, тогда ее механическая энергия W₂ равна

Поскольку на ракету действует только сила тяготения со стороны Земли, являющаяся консервативной силой, то согласно закону сохранения энергии механическая энергия ракеты не изменяется, т.е. W_l =W₂, а с учетом (4) и (5):

Выразив из данного уравнения искомую высоту h₂, получим

Произведем вычисления:

Ответ: h₂ = (м)

Задача № 155. Тонкий однородный стержень массой m₁ и длиной l может свободно вращаться относительно горизонтальной оси, проходящей перпендикулярно стержню через один из его концов. На расстоянии, равном трети длины стержня, от второго его конца, укреплен грузик массой m₂. Определить период малых колебаний этой системы относительно указанной оси.

Система «груз + стержень» представляет собой физический маятник, период малых колебаний которого определяется выражением

(1)

где I - момент инерции системы относительно оси подвеса, проходящей через точку подвеса т. О перпендикулярно стержню, m - масса системы, l _с - расстояние от центра тяжести системы до оси подвеса. Масса системы

m = m₁ + m₂. (2)

Момент инерции I системы относительно оси подвеса равен сумме моментов инерций стержня I₁ и шара 1₂ относительно этой оси:

I = I₁ + I₂. (3)

Для нахождения I₁ и I₂, воспользуемся теоремой Штейнера:

где I_С1 = - момент инерции стержня относительно оси, проходящей через его центр масс (т. С₁) перпендикулярно стержню

расстояние между осью подвеса и параллельной ей

осью, проходящей через т. С₁; I_С2 = - момент инерции шара относительно оси, проходящей через его центр масс (т. С₂);

- расстояние между осью подвеса н параллельной

осью, проходящей через т. С₂. выражения (4) и (5) принимают вид

(6)

(7)

Подставив (6) и (7) в (3), находим момент инерции системы относительно оси подвеса:

Так как центр тяжести и центр масс системы совпадают, то расстояние а_с от центра тяжести системы до оси подвеса равно координате у_с центра масс системы. Согласно определению центра масс системы:

Период малых колебаний системы получим, подставив выражения (2), (8) и (9) в формулу (1):

Ответ

Задача № 165. Частица массой 20 г совершает колебания вдоль оси Ох по закону x(t) = 0,15sin (м). Определить период колебаний частицы и энергию ее колебаний. Найти в момент времени 0,2 с проекцию вектора скорости и проекцию упругой силы.