Решение.

Физическая система состоит из вращающегося однородного кольца, на который действуют сила F, сила тяжести mg и сила реакции N оси. Поскольку центр масс диска неподвижен, то

mg + N + F = 0. (1) Запишем основное уравнение динамики вращательного движения диска вокруг неподвижной оси Oz, совпадающей по направлению с вектором начальной угловой скорости ω₀:

(2)

где

- момент инерции диска относительно оси, проходящей через его центр перпендикулярно плоскости диска; ω_z - проекция угловой скорости диска наось Oz; Mz - момент силы F относительно оси Oz, М_{mg z:} и M_{N z} - момент силы тяжести mg и момент силы реакции оси N относительно оси Oz соответственно. Поскольку точка О является точкой приложения сил mg и N, то

(3)

Согласно определению момента силы вектор M направлен по оси Oz, тогда момент силы F относительно оси Oz равен

где r - радиус-вектор точки приложения силы F; α - угол между векторами г и F. Так как модуль радиуса-вектора равен радиусу диска r = R, угол 𝛽 = 90°. а модeль силы зависит от времени как F = αt², то момент силы F относительно оси Oz в зависимости от времени имеет вид

(4)

Подставим выражения (2), (3) и (4) в уравнение (1):

(5)

Перепишем полученное уравнение в виде дифференциального уравнения с разделенными переменными:

Интегрируя левую и правую часть этого уравнения:

Получим

(6)

Постоянную интегрирования С найдем из начальных условий: в начальный момент времени to = 0 угловая скорость диска (t₀) = . Подставляя эти значения в выражение (6)

Откуда С = .

Подставляя в (6) значение постоянной С = , находим зависимость проекции угловой скорости вращения диска от времени:

Ответ:

Задача № 125. На железнодорожной платформе, равномерно движущейся со скоростью 14,5 м/с, жестко закреплено орудие, из которого произведен выстрел в сторону ее движения, после чего скорость платформы стала равной 12,0 м/с, а направление ее движения не изменилось. Определить модуль скорости снаряда относительно платформы, если вектор этой скорости составляет с горизонтом угол 60°. Масса снаряда 15 кг, масса платформы с орудием 885 кг.

Решение

Физическая система состоит из двух тел: платформы с орудием массой m₁ и снаряда массой m₂. В первом состоянии (до выстрела) импульс р₁ системы относительно земли был равен

(1)

где ν - скорость относительно земли платформы с орудием и снарядом до выстрела. Во втором состоянии (после выстрела) импульс р_г системы относительно земли стал равным

(2)

где - скорость относительно земли платформы с орудием после выстрела; скорость относительно земли снаряда после выстрела. Согласно закону сложения скоростей скорость снаряда относительно земли равна геометрической сумме скорости u снаряда относительно платформы и скорости платформы относительно земли (3)

Подставив выражение (3) в уравнение (2), получим . (4) Система «платформа-снаряд» незамкнута, но сумма проекций всех внешних сил (сил тяжести и силы реакции опоры), действующих на эту систему, на ось Ох равна нулю, а сила трения пренебрежимо мала, следовательно, проекция импульса данной системы на ось Ох сохраняется:

(5)

где - проекция на ось Ох импульса системы до выстрела; - проекция на ось Ох импульса р₂ системы после выстрела. Спроектировав выражения (1) и (4) на ось Ох, получим

(6)

(7)

Уравнения (6) и (7) подставим в равенство (5):

Выражая скорость снаряда относительно платформы, получим

,

Подставляя числовые значения, вычислим скорость платформы до выстрела:

Ответ: u = 300 м/с

Задача № 135. На краю скамьи Жуковского массой 80 кг. вращающейся с угловой скоростью 1.0 рад/с, стоит человек. Определить массу человека, если при его переходе в центр скамьи угловая скорость ее вращения увеличилась до 2,5 рад/с. Момент инерции человека рассчитывать как для материальной точки.