Задача 166

Частица массой 20 г совершает колебания вдоль оси Ox по закону  (м). Определить период колебаний частицы и энергию ее колебаний. Найти в момент времени 0,2 с проекцию вектора скорости и проекцию упругой силы.

Дано:

m = 20 г = 20 ∙10^-3 кг (СИ)

х (t) = 0,15 cos (t)

t = 0,2 c

Найти: T, W, (t₁₎, F_x(t₁₎

Решение

Закон движения частицы, совершающей гармонические колебания вдоль оси Ох, имеет вид

х (t) = A cos(t +)

Сравнивая это уравнение с заданным законом движения, получаем, что амплитуда смещения равна A = 0,15 м, собственная циклическая частота колебаний составляет = рад/с, а начальная фаза колебаний = 0.

1. Период колебаний Т найдем из его связи с собственной циклической частотой

T = = =2,4 (c)

2. Энергия колебаний W частицы равна максимальному значению потенциальной энергии W_pmax:,

W = W_pmax =, где k - коэффициент упругости.

Коэффициент упругости k, масса частицы m и собственная циклическая частота связаны соотношением

откуда k = m, тогда энергия колебаний W частицы равна

^{Подставим числовые значения и вычислим:}

W = =1,5∙10^-3 (Дж) = 1,5 (мДж)

3. Зависимость (t) проекции на ось Ох скорости частицы от времени найдем как производную смещения х по времени:

(t) =

тогда в момент времени t₁, проекция вектора скорости равна

(t₁) =

Подставим числовые значения и вычислим:

(t₁) = -0,15∙= -0,2 (м/с)

4. Зависимость проекции на ось Ох силы упругости F_x(t) от времени при гармонических колебаниях имеет вид

F_x(t) = -k х (t)= -kA cos (t) = m² A cos(t)

тогда в момент времени t₁ проекция силы упругости равна

F_x(t₁) = - m² A cos(t₁)

Подставим числовые значения и вычислим:

^F_x^(t₁^{) = -20∙10-3 ∙= -17,8 (мН)}

^{Ответ: 2,4 с; 1,5 мДж; -0,2 м/с; -17,8 мН Правильно}

Задача 176

Кислород (О₂) находится в равновесном состоянии, при котором средняя энергия теплового движения одной его молекулы составляет 13,80·10^–21 Дж. Определить: 1) среднюю кинетическую энергию поступательного движения молекулы; 2) среднюю кинетическую энергию вращательного движения молекулы; 3) среднюю квадратичную скорость молекулы. Молекулу считать жесткой.

Дано:

i = 5

^{=13,8 ∙ 10-21 Дж}

Найти: , ,

Решение

Согласно закону о равном распределении средней энергии по степеням свободы в состоянии теплового равновесия на каждую степень свободы молекулы приходится в среднем одинаковая энергия, равная kT/2, где k - постоянная Больцмана, (k = 1,38∙10^-23 Дж/К)

Т- абсолютная температура газа.

Для двухатомной молекулы с жесткой связью между атомами общее число степеней свободы i = 5, из них число степеней свободы поступательного движения i_пост = 3 и число степеней вращательного движения i_вращ = 2

Тогда средняя кинетическая энергия поступательного движения молекулы:

(1)

средняя кинетическая энергия вращательного движения молекулы:

(2)

средняя энергия теплового движения молекулы:

(3)

Из уравнения (3) (4)