Задача 146
При вертикальном запуске с поверхности Земли и выключения двигателя максимальная высота подъема ракеты над поверхностью Земли составила 6·106 м. Какова была скорость ракеты на высоте 2,5·106 м? Принять, что на ракету действует только сила тяготения со стороны Земли, а масса ракеты остается постоянной. Масса Земли и ее радиус известны.
Дано:
h1 = 6 ∙106 м
h2 = 2,5 ∙106 м
=
0
Найти
Решение
Механическая энергия W ракеты, находящейся в гравитационном поле Земли, которое является потенциальным, складывается из кинетической Wk и потенциальной Wp энергий:
W=Wk+Wp (1)
Кинетическая
энергия ракеты массой т,
движущейся
со скоростью
,
равна
Wk
=
(2)
Потенциальная энергия ракеты в гравитационном поле Земли:
Wp
= -
(3)
где G = 6,67∙10-11 м3 / (кг∙с2) - гравитационная постоянная,
М = 5,98∙1024кг - масса Земли, r = R + h - расстояние от центра Земли до ракеты,
R = 6,37∙106 м - радиус Земли, h - высота ракеты над поверхностью Земли.
На высоте h1
ракета обладает
скоростью
1,
тогда согласно
(1)
с учетом (2) и (3) ее механическая энергия
W1
равна
W1
=
(4)
На высоте h2
ракета
обладает скоростью
2,
тогда ее
механическая энергия W2
равна
W2
=
(5)
Поскольку на ракету действует только сила тяготения со стороны земли, являющаяся консервативной силой, то согласно закону сохранения энергии механическая энергия ракеты не изменяется, т.е. W1 = W2 ,
а с учетом (4) и (5):
=
Выразив из данного
уравнения искомую скорость
2
, получим
2=
Расчеты
(м/с)
Ответ:
∙103
м/с
Задача 156
На конце тонкого
однородного стержня массой
укреплен
грузик массой
.
Определить длину
стержня,
если период малых колебаний этой системы
относительно горизонтальной оси,
проходящей перпендикулярно стержню
через точку, удаленную на четверть длины
стержня от его свободного конца,
равен T.
Дано:
=
/4
m1
m2
T
Найти:
Решение
Система «грузик + стержень» представляет собой физический маятник, период малых колебаний которого равен:
T = 2
(1)
где I – момент инерции системы относительно оси подвеса, проходящей через точку подвеса т. О перпендикулярно стержню,
m – масса системы;
с
– расстояние от центра тяжести системы
до оси подвеса.
Масса системы равна: m = m1 + m2 (2)
Момент инерции I системы равен сумме моментов инерций стержня I1 и грузика I2:
I = I1 + I2 (3)
Воспользуемся теоремой Штейнера:
I1 = I с1 + m1 а12 (4)
I2 = I с2 + m2 а22 (5),
где I
с1=
- момент инерции стержня относительно
оси, проходящей через его центр масс
(т.
1)
перпендикулярно стержню;
а1=
- расстояние между осью подвеса и
параллельной ей осью, проходящей через
т. С1;
Iс2
= m2
(
-
)2
– момент инерции грузика относительно
оси подвеса.
Iс2
=
а2=
- расстояние между осью подвеса и
параллельной ей осью, проходящей через
точку С2.
С учетом этого выражения (4) и (5) примут следующий вид:
I1
=
+
=
(6)
I2
=
(7)
Подставим (6) и (7) в (3):
I =
+
=
+
)
Из выражения (1)
выразим длину
с
и найдем ее, подставив в полученное
выражение (2) и (8):
Длина стержня
равна:
Ответ:
