Задача 116

Горизонтальный однородный стержень массой m и длиной ℓ начинает вращаться в горизонтальной плоскости относительно неподвижной вертикальной оси, проходящей через центр стержня под действием силы, приложенной к одному из его концов перпендикулярно к стержню.  Модуль силы зависит от времени как , где  – некоторая положительная постоянная. Найти угловую скорость w₁  стержня в момент времени  t₁  после начала действия силы.

Дано:

m,

,

F = t, = const,

t₀ = 0, = 0,

t₁

Найти

Решение

Физическая система состоит из вращающегося однородного стержня, на который действует сила ,сила тяжести m и сила реакции оси .

z

Запишем основное уравнение динамики вращательного движения стержня вокруг неподвижной оси OZ, совпадающей по направлению с вектором начальной угловой скоростью:

J =M_z + M_mgz + M_Nz , (1)

где J = m² - момент инерции (2)

стержня относительно оси, проходящей через его конец;

- проекция угловой скорости диска на ось oz;

M_z – момент силы относительно оси oz;

M_mgz и M_Nz - момент силы тяжести m и момент реакции оси относительно оси oz соответственно.

Так как точка О – приложение сил m и , то

M_mgz = M_Nz= 0. (3)

Согласно определению момента силы вектор направлен в ту же сторону, что и ось oz, тогда момент силы относительно оси oz равен

M_z= sin,

где - радиус вектор точки приложения силы ;

- угол между векторами и .

Так как модуль радиус-вектора равен половине длины стержня r = , угол = 90⁰, а модуль силы зависит от времени как F= t, то момент силы относительно оси oz в зависимости от времени имеет вид:

M_z = t (4)

Подставим (2), (3), и (4) в уравнение (1):

m= t (5).

Перепишем уравнение (5) в виде дифференциального уравнения с разделенными переменными:

= = (6).

Интегрируя левую и правую части уравнения (6):

dM_z= () tdt, получим

= +с (7)

Постоянную интегрирования с найдем из начальных условий: в начальный момент времени t₀= 0 угловая скорость стержня

( t₀) = 0. Получим:

0 = ∙0 + с, откуда с = 0.

Подставляя в (7) значение с = 0, находим зависимость проекций угловой скорости вращения диска от времени:

(t) = (8).

В момент времени t₁ угловая скорость стержня будет равна:

= (9)

Ответ: =

Задача 126

С лодки, движущейся по озеру со скоростью 2,0 м/с, охотник произвел выстрел по направлению ее движения. Определить модуль скорости лодки после выстрела, если направление ее движения не изменилось, а пуля вылетает со скоростью 600,0 м/с относительно лодки под углом 30⁰ к горизонту. Масса пули 20 г, масса лодки с охотником  110 кг.

Дано:

= 2 м/с,

m₁ =110 кг

m₂ =20 г = 20∙10^-3 кг (СИ)

= 30⁰

U = 600 м/с

Найти: