Решение.

Запишем в аналитической форме совместную плотность вероятности:

Определим c, используя условие нормировки:

Найдем математическое ожидание и дисперсию величины X:

m_x = a_1,0 (x,y) = ,

.

.

m_y = a_0,1 (x,y) = ,

.

.

D_x = m_2,0 (x,y)=

D_y = m_0,2 (x,y)=.

.

Определим корреляционный момент K_xy:

.

Коэффициент корреляции величин X и Y будет равен:

.

1. Одномерная выборка:

3.67 0.96 5.57 1.11 1.09 1.13 0.13 1.06 6.14 3.73 0.90 2.86 6.25 5.62 9.01 0.32 7.54 0.17 0.88 0.29 5.05 2.18 0.37

2.75 0.36 2.42 1.59 0.60 1.24 2.25 7.68 8.55 0.93 5.71 3.24 3.09 2.72 2.86 2.89 2.78 3.37 2.08 0.04 0.99 6.21 2.58

0.30 6.08 0.89 0.64 16.88 2.55 0.25 0.44 1.53 3.91 4.97 3.62 1.07 3.84 0.53 0.68 1.05 0.37 17.37 4.13 0.88 7.50 2.25

0.70 13.44 1.47 8.16 2.83 7.77 0.78 2.97 0.04 0.19 0.32 0.64 3.78 2.49 0.91 3.25 0.17 12.41 0.69 1.98 3.60 3.50 4.20

0.54 3.57 1.21 2.07 7.65 3.81 5.46 5.98

Вариационный ряд выборки:

0,04 0,04 0,13 0,17 0,17 0,19 0,25 0,29 0,3 0,32 0,32 0,36 0,37 0,37 0,44 0,53 0,54 0,6 0,64 0,64 0,68 0,69 0,7 0,78 0,88 0,88 0,89 0,9 0,91 0,93 0,96 0,99 1,05 1,06 1,07 1,09 1,11 1,13 1,21 1,24 1,47 1,53 1,59 1,98 2,07 2,08 2,18 2,25 2,25 2,42 2,49 2,55 2,58 2,72 2,75 2,78 2,83 2,86 2,86 2,89 2,97 3,09 3,24 3,25 3,37 3,5 3,57 3,6 3,62 3,67 3,73 3,78 3,81 3,84 3,91 4,13 4,2 4,97 5,05 5,46 5,57 5,62 5,71 5,98 6,08 6,14 6,21 6,25 7,5 7,54 7,65 7,68 7,77 8,16 8,55 9,01 12,41 13,44 16,88 17,37

Построим интервальный статистический ряд:

Определим длину интервала:

Определим границы интервалов разбиения

;

;

;

; ;;; ; ; .

Построим интервальный статистический ряд:

Сi, Сi+1		(-1,1;1,17)	[1,17;3,44)	[3,44;5,71)	[5,71;7,98)	[7,98;10,25)	[10,25;12,52)	[12,52;14,79)	[14,79;17,06)	[17,06; 19,33)
		0,035	2,31	4,58	6,85	9,12	11,39	13,66	15,93	18,2
		38	27	17	11	3	1	1	1	1
	0,38		0,27	0,17	0,11	0,03	0,01	0,01	0,01	0,01

Для построения эмпирической функции распределения воспользуемся соотношением:

Объем выборки равен 100. Количество интервалов определяем по формуле:

Для интервального метода построения интервального статистического ряда вероятностей величины:

.

1	0,04	1,773		43	0,25
2	1,773	2,506		8	0,05
3	2,506	4,239		27	0,16
4	4,239	5,972		5	0,03
5	5,972	7,705		9	0,05
6	7,705	11,171		4	0,02
7	11,171	12,904		1	0,006
8	12,904	14,637		1	0,006
9	14,637	16,37		0	0
10	16,37	18,103		2	0,011

Равноинтервальная гистограмма

Для равновероятностного метода построения интервального статистического ряда вероятностей величины рассчитываем:

1	0,035	0,32	0,285	10	0,1	0,35
2	0,32	0,64	0,32	10	0,1	0,31
3	0,64	0,93	0,29	10	0,1	0,34
4	0,93	1,24	0,31	10	0,1	0,32
5	1,24	2,42	1,18	10	0,1	0,08
6	2,42	2,89	0,47	10	0,1	0,21
7	2,89	3,67	0,78	10	0,1	0,13
8	3,67	5,46	1,79	10	0,1	0,06
9	5,46	7,54	2,08	10	0,1	0,05
10	7,54	17,37	9,83	10	0,1	0,01

Равновероятностная гистограмма

По виду гистограмм выдвигаем гипотезу о том, что случайная величина Х распределена по нормальному закону:

Используя метод моментов, определим оценки неизвестных параметров и гипотетического (нормального) закона распределения:

;

Значение критерия вычисляем по формуле:

При проверке гипотезы используем равновесную гистограмму. В этом случае:

Теоретически вероятность рассчитывается:

Тогда

После этого из таблицы распределения выбираем критическое значение

Так как , то гипотеза не принимается.

Используя критерий Колмогорова, проверим гипотезу о том, что случайная величина распределена по нормальному закону (необходимые нам параметры: ,,)

Ясно, что максимальное отклонение эмпирической функции распределения от непрерывной функции распределения достигается в точках скачков функции

Будем считать, что точками скачков функции являются - середины интервалов интервального вариационного ряда (j = 1,2,….,8).

Тогда

Так как по предположению случайная величина распределена нормально с параметрами 3,03 и 4,66 , то где - функция Лапласа.

1	1,178	0,38	-0,4	0,1892	0,1908
2	3,44	0,65	0,088	0,564	0,086
3	5,71	0,82	0,575	0,938	0,118
4	7,98	0,93	1,062	1,211	0,281
5	10,25	0,96	1,549	1,39	0,43
6	12,52	0,97	2,036	1,455	0,485
7	14,79	0,98	2,524	1,489	0,509
8	17,06	0,99	3,011	1,498	0,508

Из таблицы следует, что

Значит,

По таблицам критических значений для распределения Колмогорова при находим

Так как полученное значение больше критического , то нулевая гипотеза H₀ отклоняется.