Графики эмпирической и теоретической функции распределения
D
Построим гистограмму равновероятностным методом:
Среднюю плотность вероятности можно вычислить по формуле:
|
i |
|
|
|
|
|
|
1 |
-4.5 |
-3.77 |
0.73 |
10 |
13.7 |
|
2 |
-3.77 |
-3.39 |
0.38 |
10 |
26.3 |
|
3 |
-3.39 |
-3.015 |
0.375 |
10 |
26.7 |
|
4 |
-3.015 |
-2.475 |
0.54 |
10 |
18.5 |
|
5 |
-2.475 |
-2.005 |
0.47 |
10 |
21.3 |
|
6 |
-2.005 |
-1.255 |
0.75 |
10 |
13.3 |
|
7 |
-1.255 |
-0.825 |
0.43 |
10 |
23.3 |
|
8 |
-0.825 |
-0.25 |
0.575 |
10 |
17.4 |
|
9 |
-0.25 |
0.01 |
0.26 |
10 |
38.5 |
|
10 |
0.01 |
0.77 |
0.76 |
10 |
13.2 |
Построим гистограмму равноинтервальным методом.
|
i |
|
|
|
|
|
|
1 |
-4.5 |
-3.973 |
0.527 |
6 |
0.06 |
|
2 |
-3.973 |
-3.446 |
0.527 |
12 |
0.12 |
|
3 |
-3.446 |
-2.919 |
0.527 |
13 |
0.13 |
|
4 |
-2.919 |
-2.392 |
0.527 |
10 |
0.1 |
|
5 |
-2.392 |
-1.865 |
0.527 |
10 |
0.1 |
|
6 |
-1.865 |
-1.338 |
0.527 |
8 |
0.08 |
|
7 |
-1.338 |
-0.811 |
0.527 |
11 |
0.11 |
|
8 |
-0.811 |
-0.284 |
0.527 |
9 |
0.09 |
|
9 |
-0.284 |
0.243 |
0.527 |
13 |
0.13 |
|
10 |
0.243 |
0.77 |
0.527 |
8 |
0.08 |
Вычислим характеристики распределения: выборочную среднюю, выборочную дисперсию и выборочное квадратическое отклонение.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Итого |
|
-4.5 |
-4.44 |
-4.23 |
-4.17 |
-4.16 |
-4.01 |
-3.92 |
-3.89 |
-3.86 |
-3.79 |
-40.97 |
|
-3.75 |
-3.72 |
-3.7 |
-3.69 |
-3.65 |
-3.59 |
-3.56 |
-3.46 |
-3.44 |
-3.42 |
-35.98 |
|
-3.36 |
-3.33 |
-3.32 |
-3.21 |
-3.13 |
-3.11 |
-3.1 |
-3.04 |
-3.03 |
-3.03 |
-31.66 |
|
-3 |
-2.81 |
-2.79 |
-2.75 |
-2.69 |
-2.68 |
-2.65 |
-2.58 |
-2.53 |
-2.52 |
-27 |
|
-2.43 |
-2.35 |
-2.3 |
-2.29 |
-2.27 |
-2.26 |
-2.26 |
-2.07 |
-2.04 |
-2.01 |
-22.28 |
|
-2 |
-1.74 |
-1.72 |
-1.72 |
-1.57 |
-1.55 |
-1.54 |
-1.49 |
-1.48 |
-1.26 |
-16.07 |
|
-1.25 |
-1.21 |
-1.19 |
-1.11 |
-1.06 |
-1.02 |
-0.98 |
-0.92 |
-0.89 |
-0.84 |
-10.47 |
|
-0.81 |
-0.62 |
-0.62 |
-0.6 |
-0.58 |
-0.51 |
-0.49 |
-0.34 |
-0.32 |
-0.28 |
-5.17 |
|
-0.22 |
-0.22 |
-0.19 |
-0.08 |
-0.07 |
-0.07 |
-0.03 |
-0.02 |
-0.01 |
0 |
-0.91 |
|
0.02 |
0.07 |
0.32 |
0.36 |
0.43 |
0.5 |
0.68 |
0.71 |
0.76 |
0.77 |
4.62 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-185.89 |
Квадраты значений выборки:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Итого |
|
20.25 |
19.7136 |
17.8929 |
17.3889 |
17.3056 |
16.0801 |
15.3664 |
15.1321 |
14.8996 |
14.3641 |
168.3933 |
|
14.0625 |
13.8384 |
13.69 |
13.6161 |
13.3225 |
12.8881 |
12.6736 |
11.9716 |
11.8336 |
11.6964 |
129.5928 |
|
11.2896 |
11.0889 |
11.0224 |
10.3041 |
9.7969 |
9.6721 |
9.61 |
9.2416 |
9.1809 |
9.1809 |
100.3874 |
|
9 |
7.8961 |
7.7841 |
7.5625 |
7.2361 |
7.1824 |
7.0225 |
6.6564 |
6.4009 |
6.3504 |
73.0914 |
|
5.9049 |
5.5225 |
5.29 |
5.2441 |
5.1529 |
5.1076 |
5.1076 |
4.2849 |
4.1616 |
4.0401 |
49.8162 |
|
4 |
3.0276 |
2.9584 |
2.9584 |
2.4649 |
2.4025 |
2.3716 |
2.2201 |
2.1904 |
1.5876 |
26.1815 |
|
1.5625 |
1.4641 |
1.4161 |
1.2321 |
1.1236 |
1.0404 |
0.9604 |
0.8464 |
0.7921 |
0.7056 |
11.1433 |
|
0.6561 |
0.3844 |
0.3844 |
0.36 |
0.3364 |
0.2601 |
0.2401 |
0.1156 |
0.1024 |
0.0784 |
2.9179 |
|
0.0484 |
0.0484 |
0.0361 |
0.0064 |
0.0049 |
0.0049 |
0.0009 |
0.0004 |
0.0001 |
0 |
0.1505 |
|
0.0004 |
0.0049 |
0.1024 |
0.1296 |
0.1849 |
0.25 |
0.4624 |
0.5041 |
0.5776 |
0.5929 |
2.8092 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
564.4835 |
Выборочная средняя:
Вычислим выборочную дисперсию.
Средняя квадратов:
Выборочная дисперсия:
Среднее квадратическое отклонение:
Вычислим исправленную выборочную дисперсию.
Исправленное среднее квадратическое отклонение:
Найдем доверительный интервал для оценки неизвестного математического ожидания. Он считается по формуле:
,
следовательно,
Искомый доверительный интервал математического ожидания:
Найдем доверительный интервал для оценки дисперсии. Он считается по формуле:
Искомый доверительный интервал для дисперсии:
По виду гистограммы, построенной равновероятностным способом можно предположить, что случайная величина распределена по равномерному закону
Выдвинем гипотезы:
где
-плотность вероятности равномерного
распределения
Найдем вероятности попадания случайной
величины
в каждый из интервалов и теоретические
частоты:
|
|
-4.5 |
-3.973 |
-3.446 |
-2.919 |
-2.392 |
-1.865 |
-1.338 |
-0.811 |
-0.284 |
0.243 |
|
|
-3.973 |
-3.446 |
-2.919 |
-2.392 |
-1.865 |
-1.338 |
-0.811 |
-0.284 |
0.243 |
0.77 |
|
|
0.083 |
0.103 |
0.103 |
0.103 |
0.103 |
0.103 |
0.103 |
0.103 |
0.103 |
0.089 |
|
|
8.3 |
10.3 |
10.3 |
10.3 |
10.3 |
10.3 |
10.3 |
10.3 |
10.3 |
8.9 |
Проверим степень согласия эмпирического и теоретического распределения по критерию Пирсона:
|
Интервалы |
|
|
|
|
(-4.5)-(-3.973) |
6 |
8.3 |
0.637 |
|
(-3.973)-(-3.446) |
12 |
10.3 |
0.281 |
|
(-3.446)-(-2.919) |
13 |
10.3 |
0.708 |
|
(-2.919)-(-2.392) |
10 |
10.3 |
0.009 |
|
(-2.392)-(-1.865) |
10 |
10.3 |
0.009 |
|
(-1.865)-(-1.338) |
8 |
10.3 |
0.514 |
|
(-1.338)-(-0.811) |
11 |
10.3 |
0.048 |
|
(-0.811)-(-0.284) |
9 |
10.3 |
0.164 |
|
(-0.284)-0.243 |
13 |
10.3 |
0.708 |
|
0.243-0.77 |
8 |
8.9 |
0.091 |
|
Итого |
|
|
3.167 |
Из расчетной таблицы
Уровень значимости
Число степеней свободы
По таблице критических точек распределения:
Гипотеза о распределении случайной величины по показательному закону не отвергается.
Проверим степень согласия эмпирического и теоретического распределения по критерию Колмогорова.
Выдвинем гипотезы:
где
-теоретическая функция распределения
равномерного закона
По формуле:
Вычисляем значения теоретической функции распределения:
Для этого строим график
в одной системе координат с эмпирической: