Функция распределения
График эмпирической функции распределения
+
Задача 6.11
Случайная величина Х задана плотностью вероятности
Определить константу
,
математическое ожидание, дисперсию,
функцию распределения величины
,
а также вероятность ее попадания в
интервал
.
Решение:
Константу определим, используя свойство плотности вероятности:
В нашем случае:
Найдем математическое ожидание:
Найдем дисперсию:
Найдем функцию распределения:
для
:
для
:
для
:
Функция распределения:
Вероятность попадания в интервал
:
+
Задача 7.28
Случайная величина
распределена равномерно на интервале
.
Построить график случайной величины
и определить плотность вероятности
.
Решение:
Построим график
Найдем плотность распределения
случайной величины
:
в интервале
вне этого интервала
Функция
на интервале
имеет одну обратную функцию
На интервале
две обратные функции:
и
Искомая плотность распределения может быть найдена по формуле:
На интервале
,
так как
Плотность распределения:
На интервале
так как
Плотность распределения:
Таким образом:
+
Задача 8.19
Двухмерный случайный вектор
равномерно распределен внутри выделенной
жирными прямыми линиями на рисунке
области
.
Двумерная плотность вероятности
одинакова для любой точки этой области
:
Вычислить коэффициент корреляции между
величинами
и
.
Решение:
Запишем в аналитической форме совместную плотность вероятностей:
Определим
,
используя условие нормировки:
Найдем математическое ожидание и дисперсию величины :
Тогда дисперсия:
Найдем математическое ожидание и дисперсию величины :
Определим корреляционный момент:
Коэффициент корреляции:
+
Задача 9.14
Вычислить математическое ожидание и
дисперсию величин
и
,
а также определить их коэффициент
корреляции
Решение:
Вычислим математические ожидания:
Дисперсии:
Корреляционный момент
Определим математическое ожидание произведения величин и :
Коэффициент корреляции:
+
Задача 10.93
По выборке одномерной случайной величины:
- получить вариационный ряд;
- построить на листе формата А4 график эмпирической функции распределения F*(x);
- построить гистограмму равноинтервальным способом;
- построить гистограмму равновероятностным способом;
- вычислить точечные оценки математического ожидания и дисперсии;
- вычислить интервальные оценки
математического ожидания и дисперсии
;
- выдвинуть гипотезу о законе распределения
случайной величины и проверить ее при
помощи критерия согласия
и критерия Колмогорова (
).
График гипотетической функции
распределения
и построить совместно с графиком
в той же системе координат и на том же
листе.
0.02 |
-2.79 |
-3.65 |
-4.5 |
-3.69 |
-2.29 |
-0.01 |
-1.54 |
-2.35 |
-3.21 |
0.71 |
-3.56 |
-0.49 |
-0.22 |
-4.23 |
-4.17 |
-3.03 |
-2.58 |
-2.07 |
-3.59 |
-1.55 |
-3.86 |
0.77 |
-0.62 |
-4.01 |
-0.62 |
-2.69 |
-0.22 |
-0.81 |
-2.27 |
-0.32 |
0.36 |
-3.04 |
0.07 |
-2 |
-1.72 |
0.5 |
-1.72 |
-1.25 |
0.43 |
-3.75 |
-2.3 |
-3.13 |
-0.07 |
-2.52 |
-2.04 |
-2.75 |
-0.6 |
-0.98 |
-0.51 |
-3.11 |
-0.02 |
-0.89 |
-1.21 |
-2.65 |
-4.44 |
-1.06 |
-3.7 |
-0.58 |
-3 |
-0.03 |
-0.92 |
-2.01 |
-1.57 |
-1.02 |
-4.16 |
-3.03 |
-0.28 |
-1.49 |
-2.26 |
-0.08 |
0 |
-2.81 |
0.68 |
-1.26 |
-2.26 |
-3.42 |
-2.53 |
0.32 |
-3.72 |
-2.68 |
-3.89 |
-3.1 |
-1.19 |
-3.36 |
-3.79 |
-1.48 |
-0.19 |
0.76 |
-3.44 |
-1.74 |
-2.43 |
-3.46 |
-0.84 |
-3.33 |
-0.34 |
-3.92 |
-1.11 |
-3.32 |
-0.07 |