Свойства условного математического ожидания.
1. M(C) = C
2. M(a + b) = aM() + b
3. M( + ) = M() + M()
4. M() = M()M(),если и независимы при условии ν.
5. M[ M()]=M
, формула полного математического ожидания.
6. , h и – некоторые функции
7. M(/) = M, если и - независимы.
.
8.
Билет 21
1. Аксиоматическое определение вероятности. Аксиомы непрерывности.
Задано измеримое пространство (Ω, F). Ω – пространство э. событий, F – некоторая σ-алгебра событий (множества из F считаются событиями и только они).
Вероятностью события А из σ-алгебры F называется вещественная функция, определенная на F и удовлетворяющая следующим свойствам (аксиомам):
А1. - аксиома неотрицательности;
А2. - аксиома нормированности;
А3. Если последовательность событий такова, что то - аддитивность сложения.
Вероятность, заданную на σ-алгебре F, называют вероятностной мерой.
А3’: если события несовместны, то ;
А4: Пусть последовательность событий такова, что , , и .Тогда - аксиома непрерывности.
А4’: пусть последовательность событий такова, что , , . Тогда .
2. Нормальное распределение (в том числе и многомерное): определение, обозначение, , характеристическая функция
Случайная величина имеет нормальное распределение, если плотность распределения имеет вид - параметры распределения, m – средним значением случайной величины, – средним квадратичным отклонением. Нормальная случайная величина практически никогда не отклоняется от своего среднего значения m более чем на . Если , , то такой нормальный закон называют стандартным нормальным законом распределения. и . Хар-ой функцией с. величины называется функция:
Многомерное:
Если
и
,
то
- совместная плотность стандартного
нормального распределения.
,
,
.
Определитель матрицы А равен 1,
,
квадратичная форма
имеет вид
.
Тогда плотность распределения двумерной
с. величины выглядит следующим образом:
.
3. Ковариация случайных величин, её свойства.
Ковариацией с. величин и называют математическое ожидание произведения центрированных с. величин и :
cov( ,)=
Если cov(,)=0, то с. величины ξ и η называются некоррелированными.
Если ξ и η двумерные с. величины, то cov( ,) определяется по формуле:
cov(,)= .
Ковариация с. величин обладает следующими свойствами:
1. cov (,) = D cov (,) = M( - M)2 = D
2. Если и независимы, то cov(,) = 0.
cov(,) = M( - M)( - M) = M( - M)M( - M)=0
3.Пусть .Тогда
ξ и η двумерные с. величины, то есть , при этом , где - неслучайные матрицы порядка 2×2, - двумерные неслучайные векторы, тогда .
4. . Рассмотрим с. величину = x - , x – произвольное число.
.
ξ и η – двумерные с. величины, то и Dξ= tr coν(ξ,ξ), Dη= tr coν(η,η).
5. .
Билет 22
1. Схема Бернулли, формула Бернулли.
Схема Бернулли - это эксперимент, удовлетворяющий условиям: 1) за основу берется эксперимент, имеющий 2 исхода. 2) этот исходный эксперимент повторяется независимо n раз (исходы эксперимента при очередном повторении не зависят от исходов эксперимента на предыдущих шагах) 3) вероятности двух исходов при каждом повторении исходного эксперимента одни и те же.
А– в n испытаниях произошло m успехов, m=0,1,2,…,n. В элементарных событиях, благоприятствующих событию А, буква У в последовательности УНУУ…Н встречается ровно m раз. Вероятность такого элементарного события равна . Число таких элементарных событий совпадает с числом способов, которыми можно расставить m букв У по n местам, при этом все буквы У неразличимы. .