Формула умножения вероятностей

События А и В называются независимыми, если Свойства независимых событий

1. или

2. Если события А и В независимы, то независимы события А и , и В, и .

. ; .

3. Если события А и , А и независимы и , то независимы и события А и .

4. Если события независимы в совокупности, то

События называются независимыми в совокупности, если для всех k=2,…,n, , то есть , ; , и т.д.

5. Пусть - независимые в совокупности события и .

и события , k=1,…,n, независимы в совокупности (свойство 2 независимых событий). Тогда по формуле (1.6) имеем .

формула вероятности суммы независимых в совокупности событий.

2. Биноминальное распределение: определение, обозначение. Производящая функция распределения и её применение для вычисления числовых характеристик.

Случайная величина – число успехов в серии из n независимых испытаний. Она может принимать значения . Восстановим функцию распределения F(x). Поскольку , то для всех событие - невозможное, значит . Если , то событие состоит из тех элементарных исходов , для которых , . Если , то событие состоит из тех элементарных исходов , для которых или , , , и т. д. При событие достоверное событие и .

Производящей функцией для дискретно распределенной с. величины ξ называется функция

1. Если производящие функции двух с. величин совпадают, то совпадают и распределения этих с. величин.

2. .

3. Если ξ и η – независимые с. величины, то производящая функция произведения этих с. величин равна произведению производящих функций сомножителей.

Действительно, . Далее, .

Пусть ξ имеет биномиальный закон распределения Найти р(u).

.

3. Корреляционное отношение, его связь с коэффициентом корреляции.

Для характеристики нелинейной зависимости между с. величинами ξ и ν используют корреляционные отношения и : .

Свойства корреляционных отношений:

1. 0≤ ≤1

2. =1 тогда и только тогда, когда с. величина ξ функционально зависит от с. величины ν;

3. =0 тогда и только тогда, когда . Геометрически это означает, что линия регрессии горизонтальная прямая.

4. . Равенство возможно тогда и только тогда, когда регрессия - прямая линия.

Билет 20

1. Классическая вероятность событий. Свойства вероятности, вытекающие из классического определения.

Ω – дискретное множество. Все исходы равновозможные - ни один из исходов опыта не имеет никаких преимуществ в появлении перед остальными.

А – некоторое событие

Вероятностью события А называется величина: Р(А)=

Свойства:

1. P( )=0. Для невозможного события нет благоприятных случаев, m=0;

2. P(Ω)=1 . Достоверному событию благоприятствуют все случаи, m = n;

3. 0 P(A) 1. Так как 0 m n, то 0 1;

4. P(A)=1-P( ).

5. Для несовместных событий , ,..., вероятность суммы событий равна сумме их вероятностей: .

2. Геометрическое распределение: определение, обозначение. Характеристическая функция и её применение для вычисления числовых характеристик.

– число испытаний, которое необходимо провести, прежде чем появится первый успех. В каждом отдельном испытании успех достигается с вероятностью р.

Случайная величина может принимать счетное множество значений k=0,1,2,3…,n,…

Если , то в первых k испытаниях появилась неудача, а в (k+1) испытании – успех. , .

Характеристической функцией с. величины называется функция:

3.Условное математическое ожидание. Кривые регрессии на примере двумерной св.

Условным математическим ожиданием с. величины при условии, что , называется величина:

Величина является функцией с. величины  (см. формулу 3.44), следовательно, сама является с. величиной, которую мы будем обозначать M(/). Область определения с. величины M(/)_=y = M(/y) совпадает с множеством значений с. величины .