16. Теорема о существовании и дифференцируемости неявно заданной функции.

Опр.: Если переменная u, являющаяся по смыслу функцией аргументов x₁,…, задается посредством функционального уравнения F(u,x₁,…)=0, тогда говорят, что u как функция аргументов x₁,… задана неявно.

П ространство переменных (u,x₁,…) – R, пространство переменных (x₁,…) – R’. Рассмотрим две переменные x₁ и x₂.

Теорема: Пусть функция F(u,x₁,x₂) диф-ма в некоторой окрестности точки M0(u⁰,x₁⁰,x₂⁰) пространства R, причем частная производная F/u непрерывна в точке M₀. Тогда если в точке M₀ функция F обращается в нуль, а частная производная F/u не обращается в нуль, то для любого достаточного малого >0 найдется такая окрестность точки M₀’(x₁⁰,x₂⁰) пространства R’, что в пределах этой окрестности существует единственная функция u=(x₁,x²), которая удовлетворяет условию |u-u⁰|< и является решением уравнения F(u,x₁,x₂)=0, причем эта функция u=(x₁,x₂)непрерывна и диф-ма в указанной окрестности M₀’.

Доказательство: 1) Уравнение F(u,x₁,x₂)=0 задает плоскость S, причем M₀ принадлежит S. Для определенности F/u>0 в точке M₀. Тогда найдется такая окрестность точки M, всюду в пределах которой F/u>0. Обозначим эту окрестность шаром (M₀,r->0). Фиксируем >0 настолько малым, чтобы точки M₁(u⁰-,x₁⁰,x₂⁰) и M2(u⁰+,x₁⁰,x₂⁰) лежали внутри шара . Рассмотрим функцию F(u,x₁⁰,x₂⁰) одной переменной u на (u⁰-,u⁰+). Так как (u,x₁⁰,x₂⁰)>0 на этом сегменте, то F(u,x₁⁰,x₂⁰)возрастает на нём. Т.к. F(u,x₁⁰,x₂⁰)=0 в u=u⁰, то F(M₁)<0, F(M₂)>0. Рассмотрим функции двух переменных F(u⁰-,x₁,x₂) и F(u⁰+,x₁,x₂). Подберем такое , чтобы F(u⁰-,x₁,x₂)<0 и F(u⁰+,x₁,x₂)>0 при |x₁-x₁⁰|< и |x₂-x₂⁰|<. Так же  должны быть таким, чтобы квадраты лежали в шаре . Область |x₁-x₁⁰|<, |x₂-x₂⁰|<, |u-u⁰|< - параллелепипед П. Пусть M’(x₁,x₂) – любая точка плоскости Ox₁x₂, лежащая в квадрате с центром в точке M₀’(x₁⁰,x₂⁰) и со сторонами, равными 2. Зафиксировав значения x₁,x₂ точки M’, рассмотрим функцию F(u,x₁,x₂) аргумента u на отрезке M₁’M₂’. Так как >0 на M₁’M₂’ и F(M₁’)<0, а F(M₂’)>0, то найдется единственное значение u: F(u,x₁,x₂)=0.

2) Докажем, что u=(x₁,x₂) непрерывна в любой точке M’(x₁,x₂) квадрата. Т.к. для точки M’ выполнены все условия, что и для точки M₀’, то докажем непрерывность в точке M₀’. Для любого >0 существует ()>0: x₁,x₂ |x₁-x₁⁰|< |x₂-x₂⁰|< справедливо |u-u⁰|<, где u=(x₁,x₂). Если взять  выбранное ранее (оно может быть сколь угодно малым), то существует , описанное ранее. Непрерывность доказана.

3) Аналогично п.2 докажем диф-ность в точке M₀’. F(u⁰,x₁⁰,x₂⁰)=0 и F(u⁰+u,x₁⁰+x₁,x₂⁰+x₂)=0 => F= =0. Все частные производные берутся в точке M₀, а α,β,γ0 при u0, x₁0, x₂0 (т.к. u0 при x₁0 и x₂0, то u можно опустить).

(F/u + γ)>0, поэтому поделим на эту скобку и получим: . По теореме о пределе частного двух функций: , , где  и 0 при x₁ и x₂0.

-что доказывает диф-мость.

16. Теорема о разрешимости системы функциональных уравнений.

Предположим, что m функций ищутся как решение системы функциональных уравнений. Совокупность функций - решение, если при подстановке в функц. уравнения получаются тождества. Решение непрерывно и диффер., если каждая неп. и диф. Составим якобиан из функций F1,...

Теорема. Пусть m функций F1,... дифференциремы в нек. окрестности М0 пространства R, частные производные по u1,..,um непрерывны. Тогда если в M0 все Fi обращаются в 0, а якобиан по ui не равен нулю, то для достаточно малых Е сущ. диф и непр. решение, опред. в нек. окрестности M’, причем |ui-u0i|<ei. Док-во. Т.к якобиан отличен от нуля, то существ. отличный от нуля минор м-1-го порядка. Не огр. общности он в левом верхнем углу. Пусть по индукции можно выразить u1,..,um-1 через иксы и um. Подставим в последнюю функцию. Получается функция , непр. и диф. как суперпозиция, зависящая от иксов и um. Докажем что производная по um отлична от нуля. Подставим функции-решения в первые функции-условия, продифференцируем по Um.

Потом умножим на алгебр. дополнения последнего столбца и сложим.

Первое слагаемое равно нулю как сумма произ. элементов строки на алгебр. дополнения другой строки. Вторая скобка равна якобиану. получается . Производная не равна нулю, ибо эти опред. не равны нулю, и непрерывна как суперпозиция. Поэтому к данной функции можно применить предыдущ. теорему, подставить решение выше и получить решение нашей системы. Докажем что оно единственное. Допустим есть еще m функций. Тогда по предположению индукции U’1=Ф1(u’m,x1,..), ..., U’m-1=Фm-1(u’m,x1,..), где функции Ф такие же как и выше. В таком случае u’m=um (по теореме решение единственно), и старое решение равно новому.

Вычисление частных производных. Возьмем наше решение, вставим его в функции Fi, потом продифференцируем по какому-то x. Получится СЛАУ. Формулы Крамера.

Система u1= ,...., um=... Если функции дифференцируемы, якобиан отличен от нуля, то функции осуществляют взаимно однозначное отображение некоторой окрестности точки M0 на окрестность N0. (по нашей теореме). Такое отображение наз-ся гомеоморфизмом. Более того, функции осущ. прямое и обр. отобр. дифференцируемы, такое отобр. наз-ся диффеоморфизмом.