11. Понятие кубируемости(объем тела). Кубируемость некоторых классов тел.

ɛ-окр точки А, внутр, внешняя, граничная т., граница, огранич множ. Многогранное тело – объедин конечн числа огранич многогранников. Св-ва. μ_*=μ_*(F)=sup μ(P), μ*=μ*(F)=inf μ(Q). Тело F кубируемо если μ= μ(F)=μ_*=μ*, μ-объем F.

Теорема. Для кубир тела F необх и дост чтобы для любого ɛ>0 нашлись многогр опис Q и впис P: μ(Q)-μ(P)<ɛ. Вместо многогр можно кубир.

Цилиндрическое тело – огранич цилиндр поверхн с образующими, || некот оси, и 2 плоскостями, перпенд этой оси. Основание, высота.

Утв. Если основанием цил тела F явл плоск квадр фиг G, то F кубир, μ(F)=μ(G)h. Доказательство. G-квадр→для любого ɛ>0 μ(Q)-μ(P)<ɛ/h. F_Q F_P: μ(Q)h-μ(P)h<ɛ → F кубир, μ(P)h<=μ(G)h<=μ(Q)h → ф-ла μ.

Аддитивность, утв→кубир ступенчатых тел (объедин конечного числа цил тел, располож так, что верхн основ каждого предыдущ лежит в одной плоск с нижним основ последующ.

Утв. f непр на [a,b]. F, образованное вращением вокруг Ох кривол трап, огранич нрафиком |f| ординатами в а и b и отрезком Ох от а до b, кубир и . Доказательство. Разбиение: a=x₀<…<x_n=b→для каждого сегмента прямоуг высоты min и max знач на этом сегм→опис и впис ступенч фиг→вращение→содерж ступ тела Q и P→S-s=μ(Q)-μ(P), πf²(x) интегр→S-s<ɛ→F кубир. Формула вытекает из s<=μ(F)<=S, при d→0 s и S →к этому знач.

12. Абсолютная сходимость несобственных интегралов. Формулы замены переменного и интегрирования по частям для несобственных интегралов.

f опред на x>=a, инт-ма на любом [a,A]→опред . Если сущ lim F при А к беск – НИ 1 рода.

f опред на [a,b), инт-ма на любом [a,α]→опред . Если сущ lim F при α→+0 – НИ 2 рода на [a,b], b – особая точка.

Критерий Коши. НИ сх-ся  F удовл усл Коши ( , ).

Теорема (общий признак сравн). f,g опред на x>=a, инт-мы на любом [a,A]. Тогда 1)люб х |f(x)|<=g(x)→ из сх-ти => сх-ть ; 2) люб х 0<=f(x)<=g(x)→ из расх-ти => расх-ть . Док-во. По критерию Коши+модуль интеграла<= интегралу модуля.

Утв. (частн признак сравн). g(x)=C/x^λ [C/(b-x)^λ)], С>0. f опред на x>=a, инт-мa на любом [a,A]. Тогда 1)если сущ С: |f(x)|<= C/x^λ , λ>1 [λ<1]=>сх ; 2) сущ С: 0<=f(x)<= C/x^λ , λ<=1[λ>=1]=>расх .

Утв. (частн в пред форме). 1) если сущ lim x^λ|f(x)|=C при х→+беск, 2) lim x^λf(x)=C при х→+беск.

Абсолютная, усл сх-ть (сх-ть f <= сх-ти |f| по Коши).

Теорема. f непр на [a,+беск), [a,+беск) – мн-во знач строго монот x=g(t), g принадл C¹[α,+беск), g(α)=a. Тогда . Доказательство. g возр, фикс А→ , А=g(р). G – взаимнообр отобр→р и А стр в +беск одновр→перейти к пределу при р→+беск.

Теорема. U(x), V(x) принадл С¹[a,b] и сущ lim UV=L при х→+беск. Тогда , где =L-U(a)V(a). Док-во. фикс А→ →к пределу при А→+беск.

13. Признак Дирихле-Абеля. Главное значение несобственного интеграла.

Признак Д-А. Пусть 1) f непр на [a,+беск) и имеет огр первообр F(x); 2) g опред и монотонно невозр на [a,+беск) и lim g(x)=0 при х→+беск.; 3) g’(x) сущ и непр на [a,+беск). Тогда сх-ся. Док-во. 1 сп. Интегр по частям на [A1,A2] из [a,+беск). F огр→ . Критерий Коши: g(A1)<ɛ/(2K) → . 2 сп. Не нужно 3 условие. Вместо интегр по частям вторая форм средн знач: сущ ξ из [A1,A2]: .

f опр на(-беск,+беск) и инт-ма на любом [-A,A]. Главн знач (V.P.) - lim при А→+беск.

Утв. Если f инт-ма на любом [-A,A], то при нечетной f V.P.=0, при четной =2 .

f опр на [a,c)+(c,b], с – особая точка, инт-ма при любом α на [а,с-α)+(с+ α,b]. Главн знач (V.P.) - lim при α →+0.