3. Асимптоты графика функции. Общая схема исследования графика функции.

Прямая х=а явл верт асимптотой графика f если хотя бы один из пределов lim_x→a+0 f или lim_x→a-0 f бесконечен.

Прямая Y=kx+b явл наклонной асимптотой графика f при x→+беск, если f представима в виде f(x)=kx+b+a(x), где lim_{x→+беск} а(х)=0.

Теорема. Для того, чтобы график f имел при х→+беск накл асимптоту необх и дост, чтобы существовали lim f(x)/x=k и lim(f(x)-kx)=b. Доказательство очевидно из определения.

Парабола n-ого порядка, определяемая ур-нием y=a_nxⁿ+…+a₁x+a₀, явл асимптотой графика f при х→беск, если f представима в виде f(x)=y+a(x) , где lim_{x→+беск} а(х)=0.

Для того чтобы график имел при х→беск асимптоту-параболу необх и дост, чтобы существовали n+1 предела: lim f(x)/xⁿ=a_n, lim (f(x)-a_nxⁿ)/x^n-1=a_n-1, …

Исследование графика: 1. Область задания f. 2. Существование асимптот. 3. Области монотонности и точки экстремума. 4. Области сохранения направл выпуклости и точки перегиба. 5. Точки пересечения графика с осью абцисс. Пример рациональная дробь.

Нахождение глобального max(min) на сегменте.

Пусть f задана на [a,b]. F имеет в b краевой max(min), если найдется такая левая полуокр b, в пределах кот значение f(b) явл наиб(наим) среди всех других. Краевой экстр. Дост усл краевого экстр: для того чтобы f имела в b сегмента [a,b] краевой max(min) дост, чтобы f имела в b положит(отриц) произв. Необход усл краевого экстр: неотриц(неположит)произв.

4. Понятие интегрируемости функции. Леммы Дарбу о верхних и нижних суммах.

Задано разбиение {x_k} [a,b] если заданы точки х₀,…,х_n такие, что a=x₀<…<x_n=b. {x_k ‘} – измельчение {x_k} если каждая точка {x_k} совпадает с одной из точек {x_k '}. {x_k} – объединение {x_k '} и {x_k ''}, если все их точки и только они явл точками {x_k}.

Интегральная сумма . Диаметр разбиения d=max Δx_k.

I-предел интегральных сумм δ(x_k,ξ_k) при стремлении d к 0, если для всякого ɛ>0 существует δ=δ(ɛ)>0, из d<δ при любом выборе ξ_k→|I-δ|<ɛ.

Функция интегрируема по Риману на [a,b] если для нее на нем существует I при стремлении d {x_k} к 0. I – определенный интеграл Римана. Геометрический смысл интегральных сумм.

Утв. Если f не явл ограниченной на [a,b], то она не интегрируема на нем. Доказательство. Пусть f не ограничена. Покажем что для любого разбиения δ можно сделать сколь угодно большой по абс величине на счет выбора ξ_k. Не нарушая общности пусть f не ограничена на [x₀,x₁], на остальных промежутках фиксируем ξ_k, δ₁-интегр сумма на них. f не огр на [x₀,x₁]→для любого М>0 найдется ξ₁: |f(ξ₁)|>=(|δ₁|+M)/Δx₁→δ>=|f(ξ₁)|Δx₁-|δ₁(x_k,ξ_k)|>=M. М=|I|+1→|δ-I|>1→f не интегрируема.

Верхние, нижние суммы , . Их геометрический смысл.

Лемма 1. Пусть δ(x_k,ξ_k)-инт сумма, отвеч {x_k}. Тогда при любом выборе промежут точек s<=δ<=S. Доказательство. m_k<=f(ξ_k)<=M_k→домножить, сложить→результат.

Лемма 2. Произвольные {x_k} и ɛ. Можно выбрать ξ_k так, что δ и S: 0<=S-δ<ɛ, а η_k так, что δ и s: 0<=δ-s<ɛ. Доказательство. M_k=sup f→найдется ξ_k: 0<=M_k-f(ξ_k)<ɛ/(b-a)→домножить, сложить→результат.

Следствие. S=sup_ξk δ(x_k,ξ_k), s=inf_ηk δ(x_k,η_k).

Лемма 3. При измельчении данного разбиения верхняя сумма только уменьшается, а нижняя только увеличивается. Доказательство. Добавление одной новой точки х', M_k'(x'-x_k-1)+M_k''(x_k-x')<=M_kΔx_k.

Лемма 4. Для двух произвольных разбиений [a,b] нижняя сумма одного не превосходит верхней суммы другого. Доказательство. Возьмем объединение этих разбиений, оно – измельчение каждого из них, лемма3, s<=S→результат.

Следствие. Множ верхних сумм f, отвечающих всевозм разбиениям [a,b] огранич снизу, нижн-сверху.

Верхний интеграл Дарбу от f –число I*=точной нижней грани {S}, I_*=точн верхн грани{s}.

Лемма 5. I_*<=I*. Доказательство. Пусть I_*-I*=ɛ>0. Для этого ɛ найдутся {x_k'} и {x_k''}: S'<I*+ɛ/2, s’’>I_*-ɛ/2→S’-s’’<I*-I_*+ɛ=0→?!.

Лемма 6. {x_k’} получено путем добавления l новых точек к {x_k}. Тогда S-S'<=(M-m)ld, s'-s<=(M-m)ld. Доказательство. Докажем для одной новой точки х' на [х_k-1,x_k]: M_k<=M, m<=M_k’, m<=M_k’’→S-S'<=(M-m)Δx_k→результат.

А-предел S при d→0, если для любого ɛ>0 существ δ>0: при d<δ |S-A|<ɛ.

Основная лемма Дарбу. I* - предел верхних сумм при d→0, а I_* - нижних. Доказательство. f=const – очевидно. f непостоянна→M>m. Фикс ɛ>0. Существ {x_k*}: S*-I*<ɛ/2, l – число точек {xk*}, не совпад с концами. Произв {xk}: d<δ=ɛ/(2l(M-m)). {xk’}-измельчение {xk} добавл тех l точек→0<=S-S'<=(M-m)ld<ɛ/2, I*<S’<S* → 0<=S’-I*<ɛ/2 → 0<=S-I*<ɛ.

5. Необходимое и достаточное условие интегрируемости.

Теорема. Для того чтобы ограниченная на [a,b] f была интегрируема на нем необх и дост чтобы I*=I_*. Доказательство. Необход. Существует I: |I-δ(x_k,ξ_k)|<ɛ/4. Для этого {x_k} есть ξ_k' и ξ_k’’: S-δ(x_k,ξ_k’)<ɛ/4, δ(x_k,ξ_k’’)-s<ɛ/4 →S-s<ɛ, s<=I_*<=I*<=S→I*=I_*. Дост. I_*=I*=A. I - предел→ для любого ɛ сущ δ: при d<δ: I_*-s<ɛ, S-I*<ɛ →A-ɛ<s<=δ<=S<A+ɛ→A - предел→f интегрируема.

Теорема. Для того чтобы огранич на [a,b] f была интегрируема на нем необх и дост чтобы для любого ɛ>0 нашлось {x_k}: S-s<ɛ. Доказательство. Необход следует из док-ва предыдущей теоремы. Дост. S-s<ɛ, s<=I_*<=I*<=S→I*-I_*<ɛ.

6. Классы интегрируемых функций.

Теорема. Непрерывные на [a,b] функции интегрируемы на нем по Риману. Доказательство. Непр→равном непр на [a,b]→для любого ɛ>0 сущ δ>0: для любых точек |ξ’-ξ’’|<δ вып |f(ξ’)-f(ξ’’)|<ɛ/(b-a)→при d<δ M_k-m_k<ɛ/(b-a). {x_k} с d<δ: S-s<ɛ.

Теорема. Пусть f определена и ограничена на [a,b]. Если для любого ɛ>0 можно указать конечное число интервалов, покрывающих все точки разрыва f и имеющих общю сумму длин <ɛ, то f интегрируема по Риману на [a,b]. Доказательство. f постоянна – очевидно. f непостоянна→M>m. Покроем точки разрыва конечным числом интервалов с общей суммой длин <=ɛ1=ɛ/(2(M-m)), остальное – дополнительные сенменты. На каждом из них f равн непр→сущ-ют δi>0: если |ξ’-ξ’’|<δ то |f(ξ’)-f(ξ’’)|<ɛ/(2(b-a)). δ=min δi. Разбиение доп сегментов с d<δ→{x_k}: S-s=Σ’(M_k-m_k)Δx_k+Σ’’(M_k-m_k)Δx_k<ɛ. (Σ’ – интервалы,Σ'' – доп сенм).

Следствие. Огранич на [a,b] f, имеющая лишь конечное число точек разрыва, интегрируема на нем. Кусочно непрерывная функция.

Теорема. Монотонная на [a,b] f интегрируема по Риману на нем. Доказательство. f убыв. Фикс ɛ>0 и {x_k} c d<ɛ/(f(b)-f(a)). Σ(M_k-m_k)=f(b)-f(a)→S-s<ɛ.

Теорема. Пусть f интегрируема по Риману на [a,b], m и M – точные грани, g определена на [m,M] и удовл усл Липшица: сущ С>=0: для любых х1 и х2 из [m,M] верно |g(x1)-g(x2)|<=C|x1-x2|. Тогда сложная h(x)=g(f(x)) интегрируема по Риману на [a,b]. Доказательство. ɛ→{x_k}: S-s<ɛ/C. M_k, m_k – для f, M_k*, m_k* - для h. Любые x и y из [x_k-1,x_k]: h(x)-h(y)<=|h(x)-h(y)|<=C|f(x)-f(y)|<=C(M_k-m_k) → M_k*-m_k* <=C(M_k-m_k) → S*-s*<ɛ.

7. Основные свойства определенного интеграла. Оценки интегралов. Формулы среднего значения.

Св-ва.

1. Соглашения: , .

2. Линейность инт-ла. Если f и g инт-мы на [a,b] и α, β – любые числа, то (αf+βg) инт-ма на нем и . Доказательство. →к пределу при d→0.

3. Если f и g инт-мы на [a,b], то y=fg инт-ма на нем. Доказательство. 4fg=[f+g]²-[f-g]²→покажем что квадрат инт-мой F инт-м: y=U², U=F(x). y=U² удовл на [m,M] усл Липшица (m,M-точные грани F) |U²-V²|<=C|U=V|, C=2max (|m|,|M|).→y инт-ма как сложная функция.

4. Аддитивность. Если f инт-ма на [a,c] и [c,b], то она инт-ма на [a,b] и интеграл равен сумме интегралов. Доказательство. a<c<b. Рассмотрим любые Т' [a,c] и T''[c,b], T – их объедин. Инт суммы σ[a,b]=σ[a,c]+σ[c,b] →к пределу при d→0.

5. Если f инт-ма на [a,b], то она инт-ма на [c,d], содержащемся в [a,b].

Оценки.

1. Если f>=0 и инт-ма на [a,b], то . Доказательство. Для любого разбиения при любом выборе промежут точек σ>=0→к пределу при d→0.

2. Если f>=g на [a,b] и они инт-мы на нем, то . Доказательство. Рассмотреть f-g.

3. Если f>=0 на [a,b] и сущ x₀ из [a,b]: f(x₀)>0, причем f непр в x₀ и инт-ма на [a,b], то сущ α>0: . Доказательство. f(x0)>=β>0→сущ [c,d], вход в [a,b], на кот f(x)>=β/2→ .

4. Если f инт-ма на [a,b], то |f| инт-ма на нем и . Доказательство. g(t)=|t| удовл усл Липшица на [m,M]→h=|f| инт-ма как сложная. Фикс α=+-1: → .

Теорема (1 формула средн знач). f и g инт-мы на [a,b], g>=0 (<=0) на нем. Тогда 1) сущ μ из [m,M]: , m и M-точные грани f. 2) при доп усл непр f сущ ξ из [a,b]: . Доказательство. 1) g>=0. mg<=fg<=Mg→ перейти к интегралам→если , то ; →поделим на него→ . 2) Т. В-са: сущ ξ из [a,b]: f(ξ)=μ.

Теорема (2 формула средн знач). f инт-ма на [a,b], а g монотонна на нем. Тогда сущ ξ из [a,b]: .

8. Основная формула интегрального исчисления. Формулы замены переменного и интегрирования по частям.

f инт-ма на [a,b] и фикс любое с из [a,b]. .

Утв. Если f инт-ма на [a,b], то F(х) непр на нем. Доказательство. Пусть х+Δх принадл [a,b]. F(x+Δx)-F(x)= =μΔx→0 при Δх→0 → F непр в люой точке х из [a,b].

Теорема. Если f(t) инт-ма на [a,b] и непр в фикс т. х0 , то F(x) диф-ма в х, F'(x0)=f(x0). Доказательство. f непр→любое ɛ при |Δx|<δ |f(x)-f(x0)|<ɛ→t из [x,x0]→ |f(t)-f(x0)|<ɛ→форм средн знач→ → .

f(t) непр на [a,b]→F(x) диф-ма: F'(x)=f(x) при a<x<b, F'(a+0)=f(a), F'(b-0)=f(b)→F – первообр f на [a,b].

Теорема. Если f непр на [a,b], то у нее сущ первообр на нем. Для любой первообр Ф форм Ньют-Лейб . Доказательство. - первообр. Ф=F+C: → .

Теорема (метод замены перем). f(x) непр на [a,b], [a,b] – множ знач x=g(t), причем g принадл С¹[α,β], g(α)=a, g(β)=b. Тогда . Доказательство. f непр → сущ первообр Ф: . Сложная Ф(g(t)) диф-ма: (Ф(g(t)))’=Ф’(t)g’(t)=f(g(t))g’(t) – непр на [α,β]. Ф(g(t)) – первообр → .

Теорема (интегр по частям). U(x), V(x) принадл С¹[a,b]. Тогда . Доказательство. Сущ непр произв [UV]'=U’V+UV’→[UV] – первообр→ .