Метод хорд и его обоснование.
Метод итераций.
Итерационная посл: х0 – любое число из обл опред F, хn=F(xn-1).
Утв 1. Если все эл-ты посл принадл [a,b] и {xn} сх-ся к с, то с – корень x=F(x). Д-во. xn а→ и с из [a,b]. F непр→lim F(xn-1)=F(c)→перейти к пределу в хn=F(xn-1).
Утв 2. Если F из C1[с-ɛ,с+ɛ], где с – изолир корень x=F(x), |F'(x)|<=α<1 для всех х из [с-ɛ,с+ɛ]. Тогда для любого х0 из [с-ɛ,с+ɛ] посл {xn} сх-ся к с. Д-во. Фикс х0. |xn-c|=|F(xn-1)-F(c)|=|F’(ξn-1)||xn-1-c|<=α|xn-1-c|<=…<=αn|x0-c|→0.
На практике часто F’>0 или <0.
Изол корень f(x)=0 на [a,b]. f принадл C1[a,b], f’ монотонна. 4 случая: f' невозр(неубыв), f'>0 (<0).
f' неубыв, f'>0. х0=а. экв: х=F(x),
F(x)=x-
. Итер посл
.
1) все xn принадл [a,c]: по индукции:
xn из [a,c]→xn-1
из [a,c] (xn=c→xn-1=c;
a<= xn<c
→ xn+1- xn=
,
a<xn<ξn<c<ξ*n<b.
f’ неуб→ xn+1-
xn<=c-xn).
2) {xn}
неубыв: из возр f. 1,2→по т о монот посл
{xn} сх-ся к с→ по утв 1 с=F(c).
Погрешность. f(xn)-f(c)=f’(ξn)(xn-c), f’>=m>0→|xn-c|<=|f(ξn)|/m.
Метод касательных и его обоснование.
Изол корень f(x)=0 на [a,b]. f принадл C1[a,b], f’ монотонна. 4 случая: f' невозр(неубыв), f'>0 (<0).
f' неубыв, f'>0. х0=b.
экв: х=F(x), F(x)=x-
.
Итер посл
.
1) все xn принадл [c,b]:
по индукции: xn из [c,b]→xn-1
из [c,b] (xn=c→xn-1=c;
c<xn
→ xn
- xn+1=
<=xn-c,
c<ξn<xn.
f’ неуб→ xn
- xn+1<=xn-c).
2) {xn}
невозр: из возр f. 1,2→по т о монот посл
{xn} сх-ся к с→ по утв 1 с=F(c).
Погрешность. |xn-c|<=|f(ξn)|/m.
Приближенные методы вычисления определенных интегралов (для одного из методов вывести оценку погрешности).
Встречаются интегралы от функций, первообразные которых не выражаются через элементарные. (или подинтегральные). Приближенные методы: прямоугольников, трапеций и парабол. Описываем, как можем заменить f(x) на константу, линейную или квадратичную функцию.
Усреднение n чисел
f(xi):
Очевидно, что если f(xi)
ограничено, то и с ограничено. Если f(x)
непрерывна на [a,b],
то есть точка е, где f(e)=c.
Однако 
по формуле средн знач. Разумно выбрав
точки аi можно вычисл.
интегр. заменить вычисл. суммы.
Прямоуг. f(x)
имеет непрерывную вторую производную.
Лейбница→R=F(c)-F(-c)-f(0)*2c.
Пси(с)=F(c)-F(-c)=
ряд маклорена по пси до ''. Пси(0)=F(0)-F(0)=0.
Пси’(0)=F’(0)+F’(0)=2f(0).
Пси’’(0)=f’(0)-f’(0)=0.
Пси’’’(e1)=f’’(e1)+f’’(-e1)=2f’’(e)
(усреднение). Пси(с)=F(c)-F(-c)=2f(0)+2
c^3.
R=
(2c)^3,
-c<=e<=c
→ метод тем точнее, чем меньше 2с.
2n равных частей: 
,
Трапеций: непр вторая произв,
аналогично
,
пси и пси' по маклорену до '' (
)
→
→
первая форм средн знач→
→
усреднение→
.
n равных частей: 
,
a<=e<=b
Парабол. Непрерывная четвертая
производная. Аналогично.
,
,
пси и пси' по маклорену до f'' c
ост членом в инт форме. Для увелич порядка
малости λ=4:
→первая форм средн знач→
→
усреднение→
.
n равных частей:
.
17.азличные множества точек и последовательности точек n-мерного пространства. Теорема Больцано-Вейерштрасса.
m-мерное коорд. пр-во – мн-во всевозм. упор. совокупн. x1,...,xn. x1,...,xn - коорд, точки. Коорд. пр-во наз-ся еквлидовым пр-вом, если для каждых двух точек задано расстояние – корень из суммы квадратов разностей координат.
Мн-ва точек: m-мерные открытый шар, замкнутый, сфера, ɛ-окр, коорд параллелепип. (прямоуг. окрестность). Утв. Любая е-окр х содержит некот прямоуг окр и наоборот. Опред. внешней, внутренней, граничной точек. Мн-во наз-ся открытым, если любая точка внутренняя. Произв. открытое мн-во, содержащее точку – ее окрестность. Мн-во замкнуто, если содержит все свои граничные точки. Предельная точка (старое опр).
Утв. Мн-во замкнуто т. и т. т., когда содержит все свои предельные точки.
Опред.
ограниченного мн-ва. Непрерывной кривой
L
в пр-ве 
наз-ся мн-во точек, координаты которых
– это непр. функции от параметра t.
a<=t<=b.
Две точки можно соединить непр. кривой,
если она существует, t=a, t=b – эти точки.
Связное
мн-во – любые две его точки можно соед
непр кривой, все точки кот принадл ему.
Всякое открытое связное мн-во – область.
Область плюс граница – замкнутая
область.
Опред. послед точек евкл пр-ва, сходящаяся. Лемма 1: посл. сходится <=> все посл. координат сходятся к координате предела. Опр. фундаментальной последовательности. Лемма 2: посл. фундаментальна <=> фундаментальны посл. координат. Леммы→критерий Коши для посл. точек m-мерного пр-ва: посл сх-сяона фундамент. Огранич посл.
Теорема Б-В.: из любой огранич посл можно выделить сх-ся подпосл. Док-во. огранич→посл корд огранич→из {x1(n)} выделим сх подпосл {x1(nk1)}→из {x2(nk1)}→из всех корд.