Тема 7. Екстремум функції двох змінних.

Завдання 7.1 Дослідити на екстремум функцію .

Розв’язання

Застосуємо схему дослідження функції на екстремум:

1) знайдемо частинні похідні і ;

2) знайдемо критичні точки (тобто точки, в яких або не існує хоча б одна з них);

3) знайдемо частинні похідні другого порядку і складемо функцію двох змінних ;

4) перевіримо виконання достатньої умови екстремуму в кожній з критичних точок, а саме, якщо в критичній точці , то вона є точкою екстремуму, якщо , то це не точка екстремуму;

5) в точках екстремуму знайдемо значення (якщо , то це точка мінімуму, якщо - точка максимуму).

1) ; .

2) Оскільки частинні похідні визначені при будь-яких значеннях і , то критичними точками є розв’язки системи рівнянь . Розв’язавши її одержимо: - критичні точки.

3) . .

4) , отже - точка екстремуму; , отже не є точкою екстремуму.

5) , тоді - точка мінімуму; .

Завдання 7.2 Знайти найбільше та найменше значення функції в області обмеженій лініями: .

Розв’язання

Неперервна в замкненій обмеженій області функція досягає в ній своїх найбільшого та найменшого значень. Ці значення можна знайти за схемою:

1) знайдемо частинні похідні і ;

2) знайдемо критичні точки;

3) обчислимо значення функції в критичних точках, що належать області ;

4) розв’яжемо задачу умовного екстремуму на межі області ;

5) з отриманих в пунктах 3 і 4 значень функції виберемо найбільше та найменше.

1) ; .

2) Розв’яжемо систему рівнянь . Маємо - критична точка.

3) Зобразимо область (рис. 6).

В нашому випадку область - це трикутник . Як бачимо, . Знайдемо .

4) На відрізку . Після підстановки функція перетвориться на функцію однієї змінної . Цю функцію досліджуємо на найбільше та найменше значення на відрізку . Маємо: ; , тоді - критична точка, яка належить відрізку . . Знайдемо також значення функції на лівому кінці проміжку . Зазначимо, що ,.

Розглянемо відрізок . На цьому відрізку одержимо функцію . Тоді - критична точка, яка належить відрізку . Знайдемо і .

Аналогічно досліджуємо відрізок . На ньому маємо функцію або . Знайдемо - критична точка. , тому знаходимо . Значення на кінцях відрізку вже знайдені, адже і .

5) Таким чином, найбільшим в області значенням функції є , а найменшим - .

Завдання 7.3 На площині знайти точку , сума квадратів відстаней від якої до трьох прямих була б найменшою.

Розв’язання

Позначимо через і відстані від точки до прямих , і відповідно. Як бачимо, відстань від точки до осі дорівнює модулю її абсциси, тобто . Аналогічно знаходимо відстань від точки до осі : . Для знаходження скористаємось формулою для знаходження відстані від точки до прямої , що має вигляд: . Отже , тобто .

Таким чином, слід знайти найменше значення функції . Знайдемо частинні похідні: , . Розв’язавши систему , маємо критичну точку . Дізнаємось, чи буде вона точкою екстремуму. , ; ; . Отже - точка екстремуму. При цьому - це точка мінімуму, оскільки . Отже для точки сума квадратів відстаней до трьох прямих , , є найменшою.

Завдання для самостійного розв’язування

Завдання 7.4 Перевірити, чи будуть точки критичними для функції .

Завдання 7.5 Перевірити, чи будуть точки , точками екстремуму для функції .

Завдання 7.6 Дослідити на екстремум функцію

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ; 6) ;

7) .

Завдання 7.7 Знайти найбільше і найменше значення функції в області , обмеженій заданими лініями

1) ; 2) ;

3) ;

4) .

Завдання 7.8 Знайти точку трикутника сума квадратів відстаней від якої до його вершин буде найбільшою.

Завдання 7.9 Знайти точку чотирикутника сума квадратів відстаней від якої до його вершин є найменшою.

Завдання 7.10 Додатне число записати у вигляді трьох доданків так, щоб їх добуток був найбільшим.

Завдання 7.11 З усіх прямокутних паралелепіпедів заданого об’єму знайти той, площа повної поверхні якого є найменшою.

Завдання 7.12 В кулю радіуса вписано паралелепіпед. Визначити розміри паралелепіпеда так, щоб його об’єм був найбільшим.

33