Тема 3. Точки розриву функції
Завдання 3.1 Знайти точки розриву функції
та
вказати їх тип.
Розв’язання
Зауважимо,
що точка
називається точкою розриву функції
,
якщо в цій точці функція не є неперервною,
тобто порушається рівність
.
Виконання ж цієї рівності означає, що
1) існують
скінченні односторонні границі
та
;
2)
;
3) обидві
односторонні границі функції
в точці
дорівнюють
.
Отже в
точці розриву хоча б одна з цих умов
порушується. Якщо в точці розриву
виконано тільки умову 1, то
називають точкою розриву першого роду.
Якщо порушається умова 1 (тобто хоча б
одна з односторонніх границь не існує
або дорівнює
),
то
називають точкою розриву другого роду.
Якщо порушається лише умова 3, то
називають точкою усувного розриву.
Оскільки
кожна з чотирьох функцій, що задають
в
цьому завданні на відповідних інтервалах
є неперервною, то слід підозрювати
наявність розриву лише в точках
.
Дослідимо кожну з них.
Оскільки
,
,
,
то
– точка розриву другого роду.
,
,
.
Отже в точці
– функція неперервна.
В точці
маємо:
,
,
.
Тоді
– точка розриву першого роду.
Зобразимо графік цієї функції (рис.1).
Завдання
3.2
Знайти точки розриву функції
та вказати їх тип.
Розв’язання
Задана
функція є елементарною, тому вона
неперервна в своїй області визначення:
або
.
В точках
та
вона має розриви, оскільки в цих точках
функція невизначена. Знайдемо границі:
,
.
.
Це означає, що
- точка розриву другого роду, а
- точка усувного розриву. Зобразимо
графік функції, враховуючи те, що всюди,
окрім точки
він співпадає з графіком функції
.
Завдання для самостійного розв’язування
Завдання
3.3
Знайти точки розриву функції
та вказати їх тип.
1)
2)
3)
4)
;
5)
;
6)
;
7)
;
8)
;
9)
;
10)
;
11)
.
Тема 3. Похідна та деякі її застосування
Завдання
4.1
Знайти похідну функції
в точці
за означенням.
Розв’язання
Нагадаємо,
що похідною функції
в точці
називається границя відношення приросту
функції
до приросту аргументу
за умови, що
.
Надамо
аргументові приросту
і знайдемо значення функції в точці
:
.
Тоді
.
Отже
.
Завдання 4.2 Знайти похідну заданої функції
1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
;
6)
.
Розв’язання
1)
.
2)
.
3)
.
4)
.
5)
.
6) Для знаходження похідної параметрично заданої функції, скористаємось формулою
.
Знайдемо
,
.
Тоді
.
Завдання
4.3
Записати рівняння дотичної та нормалі
до графіка функції
в точці з абсцисою
.
Розв’язання
Рівняння
дотичної до графіка функції
в точці з абсцисою
має вигляд:
,
де
.
В цій
задачі
,
,
.
Тоді отримаємо рівняння дотичної:
або
.
Нормаль – це пряма, що перпендикулярна до дотичної в точці дотику. Тому її рівняння має вигляд:
.
В нашому
випадку точка дотику
.
Запишемо рівняння нормалі:
або
.
Завдання
4.4
Записати рівняння дотичної та нормалі
до кривої
в точці, де
.
Розв’язання
Знайдемо
координати точки дотику.
.
Похідну обчислимо за формулою
.
.
Тоді
.
За формулами
та
складаємо рівняння дотичної та нормалі:
- дотична,
- нормаль.
Завдання 4.5 Обчислити границі за допомогою правила Лопіталя
1)
;
2)
.
Розв’язання
1)
Сформулюємо правило Лопіталя. Нехай
або
(
-
число, або символ
).
Похідні
існують в деякому околі точки
(окрім, можливо, самої точки
)
та існує скінченна або нескінченна
границя
.
Тоді
.
В цьому
прикладі маємо невизначеність виду
.
Застосувавши правило Лопіталя, одержимо:
.
2) Тут
маємо невизначеність виду
.
Застосуємо правило Лопіталя.
.
Тепер отримали невизначеність виду
,
для її розкриття двічі застосуємо
правило Лопіталя.
Завдання
4.6
Знайти похідні другого порядку
.
1)
;
2)
.
Розв’язання
1) Обчислимо спочатку похідну першого порядку.
.
Тепер
продиференціюємо
і одержимо похідну другого порядку:
.
2)
Обчислимо похідну першого порядку
параметрично заданої функції за формулою
.
.
Отже похідна
є функцією параметрично заданою
формулами:
.
Застосувавши
до неї формулу
одержимо похідну другого порядку:
.
Завдання для самостійного розв’язування
Завдання
4.7
Знайти за означенням похідну функції
в точці
.
1)
;
2)
;
3)
;
4)
.
Завдання 4.8 Знайти похідну заданої функції
1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
;
6)
7)
.
Завдання
4.9
Записати рівняння дотичної та нормалі
до графіка функції
в точці з абсцисою
.
1)
;
2)
;
3)
4)
;
5)
.
Завдання
4.10
Записати рівняння дотичної та нормалі
до кривої, що задана параметричними
рівняннями, у точці, де
.
1)
;
2)
;
3)
.
Завдання 4.11 Обчислити границі за допомогою правила Лопіталя.
1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
;
6)
;
7)
;
8)
;
9)
;
10)
;
11)
;
12)
.
Завдання
4.12
Знайти похідні другого порядку
.
1)
;
2)
;
3)
;
4)
5)
6)
7)
8)
.