Тема 5. Дослідження функції

Завдання 5.1 Для функції знайти найбільше та найменше значення на відрізку .

Розв’язання

Неперервна на заданому відрізку функція досягає на ньому найбільшого і найменшого значень. Якщо найбільшого або найменшого значення функція досягає у внутрішній точці відрізка, то це має бути точка екстремуму. Хоча значення або функція може набувати у граничній точці відрізка.

Знайдемо критичні точки функції, які належать відрізку .

; , якщо або ; не існує при або . Оскільки лише одна з критичних точок належить відрізку , то знайдемо значення функції в цій точці а також на кінцях відрізка:

, , .

Отже найбільшим на відрізку значенням функції є , а найменшим - .

Завдання 5.2 Провести повне дослідження функцій і побудувати їх графіки а) ; б) .

Розв’язання

а) 1) Область визначення , тобто .

2) Графік функції перетинає вісь в тій точці, де , тому . Точок перетину з віссю немає, оскільки рівняння не має розв’язків.

3) Знайдемо інтервали, де функція зберігає постійний знак: , коли , , якщо .

4) Парність і непарність. Періодичність.

. Функція не є парною та не є непарною, адже та . Функція неперіодична.

5) Асимптоти.

А. - точка розриву другого роду тому, що ; . З цього також випливає, що пряма є вертикальною асимптотою графіка.

Б. Знайдемо невертикальну асимптоту у вигляді , де ; .

. Отже пряма - ліва і права невертикальна асимптота графіка.

6) Інтервали монотонності. Точки екстремуму.

. З умови () знаходимо критичні точки: . Вони розбивають область визначення на інтервали: , . При цьому на інтервалах та (функція зростає), на інтервалах та (функція спадає). Тоді - точка максимуму і ; - точка мінімуму і .

7) Інтервали опуклості та ввігнутості. Точки перегину.

. Оскільки відмінна від нуля у будь-якій точці, то критичною точкою другого порядку є лише . При цьому на інтервалі , отже на цьому інтервалі графік опуклий; на інтервалі - графік ввігнутий. Точок перегину немає, оскільки в точці функція невизначена. За результатами дослідження побудуємо графік функції (рис. 3).

б) 1) Область визначення .

2) Графік функції перетинає вісь в точці ,. В цій же точці графік перетинає вісь .

3) на інтервалі , а при .

4) Парність і непарність. Періодичність.

. Функція не є ні парною ні непарною, адже та . Функція неперіодична.

5) Асимптоти.

А. Точок розриву немає, отже немає вертикальних асимптот.

Б. Знайдемо праву невертикальну асимптоту у вигляді , де ; . Таким чином пряма - права горизонтальна асимптота. Оскільки при маємо: , то лівої невертикальної асимптоти у графіка немає.

6) Інтервали монотонності. Точки екстремуму.

. З умови одержимо критичну точку . При цьому при (функція зростає), при (функція спадає). Тоді - точка максимуму і .

7) Інтервали опуклості та ввігнутості. Точки перегину.

. Прирівняємо її до нуля: , тоді . При цьому на інтервалі (графік опуклий); на інтервалі (графік увігнутий). Отже - абсциса точки перегину і . За результатами дослідження побудуємо графік функції (рис. 4).

Завдання 5.3 Під час підготовки до іспиту студент за днів вивчає таку частину всього курсу: , а забуває таку: . Скільки днів треба витратити на підготовку, щоб засвоєна частина була найбільшою?

Розв’язання

Складемо функцію, що виражає залежність засвоєної частини курсу від кількості днів , витрачених на підготовку: . Знайдемо її найбільше значення на проміжку , якщо вона цього значення досягає. Знайдемо похідну . Маємо: . Знайдемо критичні точки, що належать проміжку . Маємо: , якщо , тобто . Зауважимо, що , коли ( функція зростає), , коли ( функція спадає). Отже на проміжку неперервна функція має лише одну точку екстремуму, це точка максимуму . Тоді в цій точці функція досягає свого найбільшого на цьому проміжку значення . Таким чином, студентові треба витратити на підготовку 5 днів, щоб засвоєна частина курсу була найбільшою.

Завдання для самостійного розв’язування

Завдання 5.4 Провести повне дослідження функцій і побудувати їх графіки.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ;

5) ; 6) ; 7) ; 8) ; 9) ;

10) ; 11) ; 12) ; 13) ; 14) ;

15) .

Завдання 5.5 Знайти найбільше і найменше значення функції на заданому відрізку.

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ; 6) ;

7) ; 8) .

Завдання 5.6 Сума двох додатних чисел дорівнює 10. Знайти можливий найбільший добуток цих чисел.

Завдання 5.7 Число 54 представити у вигляді суми трьох доданків, перший з яких удвічі більший від другого. Знайти ці доданки так, щоб їх добуток був найбільшим.

Завдання 5.8 З дроту довжини треба виготовити прямокутну рамку найбільшої площі. Знайти розміри рамки.

Завдання 5.9 Знайти найбільший об’єм циліндра, площа поверхні якого дорівнює .

Завдання 5.10 Вікно має форму прямокутника, завершеного півколом (рис. 5). Периметр вікна дорівнює . При якому радіусі півкола воно буде пропускати максимальну кількість світла?

Завдання 5.11 Тіло масою падає з висоти і втрачає масу (згорає) пропорційно до часу падіння, коефіцієнт пропорційності . Вважаючи, що початкова швидкість , а прискорення , знайти найбільшу кінетичну енергію тіла (). Силою опору повітря знехтувати.

Завдання 5.12 На параболі знайти точку найменш віддалену від прямої . Знайти цю відстань.