Тема 6. Частинні похідні функції кількох змінних та деякі їх застосування

Завдання 6.1 Знайти частинні похідні та функції

1) ; 2) ; 3) ;

4) .

Розв’язання

1) Обчислюючи слід пам’ятати, що - стала величина. Тоді .

Аналогічно знаходимо :

.

2) ;

.

3) ;

.

4) ;

.

Завдання 6.2 Для функції знайти частинні похідні другого порядку.

Розв’язання

Знайдемо спочатку частинні похідні першого порядку:

; .

Тепер знайдемо частинні похідні від та . Одержимо:

; ;

;

.

Завдання 6.3 Знайти , якщо .

Розв’язання

Скористаємося формулою для знаходження похідної складеної функції , де :

.

Маємо: ;

; ; .

Тоді .

Завдання 6.4 Знайти частинні похідні та функції , де .

Розв’язання

Справедливі формули:

.

Тоді: ;

.

Завдання 6.5 Обчислити похідну показниково-степеневої функції .

Розв’язання

Введемо позначення . Тоді . Скориставшись формулою , одержимо: .

Отже .

Завдання 6.6 Знайти похідну функції заданої рівнянням .

Розв’язання

Якщо неявна функція задана рівнянням , то її похідну можна обчислити за формулою .

В цій задачі . Отже

;

.

Тоді .

Завдання 6.7 Знайти градієнт функції в точці та її похідну за напрямом вектора .

Розв’язання

Градієнт функції в точці - це вектор, що визначається формулою

.

Знайдемо частинні похідні функції: ; . Обчислимо їх значення в точці : .

Таким чином, .

Похідна функції в точці в напрямі вектора обчислюється за формулою:

,

де і - напрямні косинуси вектора . Знайдемо напрямні косинуси за формулами: .

Маємо: . Тоді за формулою маємо: .

Завдання 6.8 Записати рівняння дотичної площини та нормалі до поверхні в точці , де . В яких точках поверхні дотична площина та нормаль не існують?

Розв’язання

Знайдемо спочатку абсцису точки дотику , підставивши відомі координати в рівняння поверхні. Маємо: , звідки або . Враховуючи умову вибираємо точку дотику - .

Відомо, що рівняння дотичної площини до поверхні в точці має вигляд:

.

Знайдемо частинні похідні: ; ; . Обчислимо їх значення в точці : . Тоді за формулою дотична площина задається рівнянням або .

Нормаль до поверхні в точці задається канонічними рівняннями

.

Тоді рівняння нормалі: .

Дотична площина і нормаль не існують в тих точках поверхні, де всі частинні похідні функції дорівнюють нулю, або не існує хоча б одна з них. Прирівнявши до нуля частинні похідні, одержимо: Її розв’язок: . Оскільки точка з такими координатами не лежить на поверхні, то на ній немає точок, де не існують дотична площина та нормаль.

Завдання для самостійного розв’язування

Завдання 6.9 Знайти частинні похідні першого порядку для функцій:

1) ; ; .

2) ; ; .

3) ; ; .

4) ; ; ; .

5) ; ; ; .

6) ; ; ; .

7) ; ; ; .

8) ; ; .

9) ; ; .

Завдання 6.10 Знайти частинні похідні другого порядку для функцій:

1) ; 2) ; 3)

4) ; 5) .

Завдання 6.11 Знайти похідні складених функцій.

1) Знайти , якщо .

2) Знайти , якщо .

3) Знайти і , якщо .

Завдання 6.12 Знайти похідну показниково-степеневої функції.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ;

5) ; 6) ; 7) ; 8) .

Завдання 6.13 Знайти похідну функції заданої неявно.

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ; 6) ;

7) ; 8) ; 9) .

Завдання 6.14 Для функції або знайти градієнт в точці та похідну в цій точці в напрямі вектора .

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ;

6) .

Завдання 6.15 Записати рівняння дотичної площини та нормалі до заданої поверхні в точці .

1) ; 2)

2) ; 3) ;

4) .