Тема 2. Границя та неперервність функції в точці
Завдання
2.1
Довести за означенням границі функції,
що
.
Розв’язання
Наведемо
означення границі функції в точці. Число
називається границею функції
в точці
,
якщо функція визначена в деякому околі
цієї точки (крім, можливо, самої точки
)
і для будь-якого числа
існує таке число
(
залежить від
),
що для всіх значень
,
які задовольняють нерівність
,
виконано:
.
Задамо
як завгодно мале додатне число
і знайдемо таке
,
що при всіх
,
що задовольняють нерівність
,
виконано:
.
Виконаємо
перетворення останньої нерівності
.
Таким чином, обравши
,
одержимо: при всіх
,
що задовольняють умову
,
виконано нерівність
.
Граничну рівність доведено.
Завдання
2.2
Довести за означенням, що функція
неперервна в точці
.
Розв’язання
Наведемо
означення функції неперервної в точці
.
Функція
називається неперервною в точці
,
якщо
1) вона визначена в цій точці і деякому її околі;
2) границя
функції
в точці
збігається з її значенням в цій точці:
.
Обчислимо
і доведемо, що
.
Задамо
і вимагатимемо виконання нерівності
або
.
Як бачимо, вона є справедливою при
(оскільки
,
адже розглядається достатньо малий
окіл точки
).
Отже знайдено таке число
,
що для всіх
,
які задовольняють нерівність
,
виконується:
.
Неперервність функції в точці
доведено.
Завдання
2.3
Обчислити границі 1)
;
2)
:
3)
.
Розв’язання
1) Можна
скористатись означенням границі функції
при
(
)
і теоремами про арифметичні дії над
функціями, що мають границі
.
На практиці ж зазвичай не виконують
явно заміну
,
а ділять чисельник і знаменник на
найстарший степінь знаменника
.
Наступні два приклади розв’язуються аналогічно.
2)
.
3)
.
Завдання
2.4
Обчислити границі 1)
;
2)
;
3)
.
Розв’язання
1) Функція
не визначена в точці
.
Чисельник і знаменник дробу в цій точці
дорівнюють нулю. Отже має місце
невизначеність
.
Розкладемо чисельник і знаменник на
множники. Знаменник – за формулою
різниці квадратів, а чисельник – за
формулою:
,
де
-
корені квадратного рівняння
.
Маємо
,
.
Тоді можна скоротити дріб
на
в будь – якому околі точки
(крім самої цієї точки).
Одержимо:
.
2) Для
розкриття невизначеності виду
в цьому прикладі також розкладемо
чисельник і знаменник на множники.
Знаменник розкладемо за формулами
скороченого множення:
. Знаючи, що в розкладанні чисельника
обов’язково присутній множник
,
другий множник знайдемо за допомогою
ділення
на
.
М
аємо:
Тоді
.
3) Тут
невизначеність виду
також розкривається скороченням дробу
на
,
але спочатку звільнимось від
ірраціональності в чисельнику.
.
Завдання
2.5
Обчислити границі 1)
;
2)
;
3)
;
4)
.
Розв’язання
У цих прикладах застосовується принцип заміни нескінченно малих функцій на еквівалентні та деякі тригонометричні формули.
1)
.
Тому
.
2)
.
.
Отже
.
3)
.
Тоді
.
4)
.
При розв’язуванні цього приклада було
застосовано формули
,
,
а також еквівалентність функцій:
при
.
Завдання 2.6 Обчислити границі
1)
;
2)
;
3)
.
Розв’язання
1)
.
В інших
прикладах маємо невизначеність виду
,
яку розкриємо за допомогою другої
визначної границі
.
2)
,оскільки
3)
.
Завдання для самостійного розв’язування
Завдання 2.7 Обчислити границі
1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
;
6)
;
7)
;
8)
;
9)
;
10)
.
Завдання 2.8 Обчислити границі
1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
;
6)
;
7)
;
8)
;
9)
;
10)
.
Завдання 2.9 Обчислити границі
1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
;
6)
;
7)
;
8)
;
9)
;
10)
;
11)
;
12)
.
Завдання 2.10 Обчислити границі
1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
.