- •Г.В. Соколовська с.Ю. Соколовський Вступ до аналізу. Диференціальне числення функцій однієї та кількох змінних.
- •Тема 1. Границя числової послідовності
- •Тема 2. Границя та неперервність функції в точці
- •Тема 3. Точки розриву функції
- •Тема 3. Похідна та деякі її застосування
- •Тема 5. Дослідження функції
- •Тема 6. Частинні похідні функції кількох змінних та деякі їх застосування
- •Тема 7. Екстремум функції двох змінних.
Г.В. Соколовська с.Ю. Соколовський Вступ до аналізу. Диференціальне числення функцій однієї та кількох змінних.
Методичні вказівки до проведення практичних занять
Одеса-2015
Методичні вказівки розроблено старшими викладачами кафедри «Вища та прикладна математика» Соколовською Галиною Володимирівною та Соколовським Сергієм Юрійовичем.
Методичні вказівки схвалено кафедрою «Вища та прикладна математика» ОНМУ 11 лютого 2015р. (протокол №8).
Рецензенти: доктор фіз.-мат. наук, професор І.Л.Андронов;
кандидат фіз.-мат. наук, доцент Ю.О.Григор’єв.
Вступ
Даний навчальний посібник є збірником задач, який може бути використаний студентами всіх спеціальностей при вивченні курсу ”Вступ до аналізу. Диференціальне числення функцій однієї та кількох змінних ”. Він містить як задачі з докладним розв’язанням, так і задачі для самостійного розв’язування. При розгляді деяких задач коротко наведено теоретичні факти та формули, для обґрунтованого розв’язування решти задач слід звернутись до підручників, конспекту лекцій та навчальних посібників, виданих в ОНМУ.
Тема 1. Границя числової послідовності
Завдання 1.1 Довести, що .
Розв’язання
Наведемо означення границі числової послідовності. Число називається границею числової послідовності , якщо для будь-якого (як завгодно малого) числа існує такий номер ( залежить від ), що для всіх членів послідовності з номерами , виконано нерівність
.
Скористаємось цим означенням. Задамо і знайдемо такий номер , що для всіх номерів виконано нерівність
.
Перепишемо її у вигляді або . Тоді . Отже, обравши (ціла частина числа ), матимемо: для всіх номерів виконується нерівність .
Завдання 1.2 Обчислити границі послідовностей: 1) ;
2) ; 3) .
Розв’язання
1) Приведемо многочлен в чисельнику до стандартного виду.
. Розділимо чисельник і знаменник на найстарший степінь знаменника . Скориставшись теоремами про арифметичні дії над послідовностями, що мають границі, і тим фактом, що при , одержимо:
.
2) Розділимо чисельник і знаменник на найстарший степінь знаменника . Маємо . Далі по аналогії з попереднім прикладом одержимо: .
3) Помножимо і розділимо вираз, що стоїть під знаком границі на спряжений вираз доповнивши його до різниці квадратів. Далі застосовуємо той самий метод, що у попередніх прикладах.
.
Завдання для самостійного розв’язування
Завдання 1.3 Довести за означенням границі числової послідовності, що
1) ; 2) .
Завдання 1.4 Обчислити границі послідовностей
1) ; 2) ; 3) ;
4) ; 5) ; 6) ;
7) ; 8) ; 9) .