Властивості мішаного добутку

1. Якщо у мішаному добутку переставити два множники, то він змінить знак.

2. У мішаному добутку операції скалярного і векторного добутку можна міняти місцями Справді,

Мішаний добуток часто позначають скорочено:

Зауваження 3. Властивості 1 і 2 мішаного добутку дають можливість стверджувати, що циклічна перестановка множників у мішаному добутку не змінює його величину: .

3. Необхідна і достатня умова компланарності трьох векторів: три вектори компланарні тоді і тільки тоді, коли їх мішаний добуток дорівнює 0.

Приклад. Обчислити об’єм трикутної піраміди з вершинами в точках і .

Розв’язання. Розглянемо паралелепіпед, побудований на векторах . Їх координати: , , . Знайдемо мішаний добуток . Тоді об’єм паралелепіпеда дорівнює 10 (куб. од.). З елементарної геометрії відомо, що об’єм піраміди у шість разів менший. Таким чином,

(куб. од.).

Розділ 3.Елементи аналітичної геометрії

§ 1. Пряма лінія на площині як алгебраїчна лінія першого порядку

Рівняння виду називається рівнянням лінії на площині , якщо координати будь-якої точки , що належить лінії, задовольняють це рівняння, а точки, що не належить їй - не задовольняють. Якщо рівняння лінії має вигляд (- многочлен степеня ), то її називають алгебраїчною лінією порядку . Пряма лінія – алгебраїчна лінія першого порядку, оскільки її рівняння має вигляд

. (3.1)

Рівняння (3.1) називають загальним рівнянням прямої лінії на площині.

Розглянемо питання про те, як скласти рівняння прямої в залежності від умови задачі.

1. Запишемо рівняння прямої, що проходить через точку перпендикулярно заданому векторові (рис. 3.1). Очевидно, що точка належить прямій тоді й тільки тоді, коли вектори та ортогональні, тобто, коли або в координатній формі

. (3.2)

Вектор називають вектором нормалі а рівняння (3.2) – рівнянням прямої за точкою і нормальним вектором.

2.Запишемо рівняння прямої, що проходить через точку паралельно заданому векторові (рис 3.2).

Як бачимо, будь-яка точка належить прямій тоді й тільки тоді, коли вектори та колінеарні, тобто, коли їх координати пропорційні:

. (3.3)

Рівняння (3.3) називають канонічним рівнянням прямої. Прирівнявши обидві частини цього рівняння до одного й того ж параметру , отримаємо так звані параметричні рівняння прямої :

. (3.4)

Вектор називають напрямним вектором прямої (рис. 3.2).

3.Скориставшись формулою (3.3), запишемо рівняння прямої, що проходить через дві точки та (або через точку паралельно векторові )

. (3.5)

4.Якщо у загальному рівнянні прямої , то його можна записати у вигляді . Введемо позначення: . Тоді рівняння прямої набуває вигляду

. (3.6)

Можна довести, що , де - кут між додатним напрямом осі і прямою (рис. 3.3). Тому називають кутовим коефіцієнтом а рівняння (3.6) – рівнянням прямої з кутовим коефіцієнтом.

Рівняння прямої, що проходить через точку і має заданий кутовий коефіцієнт , має вигляд

. (3.7)

5. Якщо у загальному рівнянні прямої , то його можна записати у вигляді . Позначивши через , одержимо

. (3.8)

Як бачимо, пряма, що задана цим рівнянням перетинає осі координат в точках та , або відтинає на координатних осях відрізки довжиною та (рис.3.4). Через те рівняння (3.8) називають рівнянням прямої «у відрізках».