Розділ 2. Векторна алгебра

§ 1. Основні поняття векторної алгебри

Вектором називається напрямлений відрізок. Вектор повністю визначається парою точок – початком і кінцем. Вектор, початком якого є точка , кінцем – точка , позначається так: (рис. 2.1).

Вектор також можна позначити однією малою буквою латинського алфавіту, наприклад (рис. 2.2).

Довжина напрямленого відрізка називається довжиною, модулем вектора або його абсолютною величиною. Модуль вектора позначається так або так . Вектор нульової довжини називають нульовим вектором і позначають . Вектор, довжина якого дорівнює одиниці, називається одиничним вектором або ортом. Якщо одиничний вектор має такий же напрям, як вектор , то його називають ортом вектора і позначають . Вектори і називають колінеарними, якщо прямі і паралельні або співпадають. Якщо і колінеарні, то пишуть . Нульовий вектор вважають колінеарним будь-якому вектору.

Два вектори і називають рівними, якщо вони мають однакові напрями і рівні модулі. З цього означення випливає, що при паралельному переносі вектора одержимо рівний йому вектор. При вивченні багатьох питань механіки та геометрії вважають, що вектор, який отримано паралельним перенесенням даного вектора , є той самий вектор, тому позначається він так само: .Таким чином, початок вектора при паралельному перенесенні можна помістити у будь-яку точку простору. Вектори, що розглядаються з точністю до положення їх початку називаються вільними.

Вектори називають компланарними, якщо вони паралельні одній площині або лежать в одній площині. Якщо хоча б один з трьох векторів нульовий, то ці три вектори вважають компланарними.

§ 2. Лінійні операції над векторами

Лінійними операціями над векторами називаються множення вектора на число та додавання векторів.

Добутком вектора і числа називається вектор, що позначається або і має такі властивості:

1) вектори і колінеарні ; при цьому напрям вектора співпадає з напрямом вектора , якщо , якщо ж , то вектори та мають протилежні напрями;

2) .

Зауважимо, що будь-який вектор можна подати у вигляді , де - орт вектора . Тоді: .

Вектор або називається протилежним вектору .

Очевидно, що для будь-якого числа і для будь-якого вектора .

Зазначимо: якщо два ненульових вектори і колінеарні, то існує таке число , що .

Розглянемо операцію додавання векторів. Сумою двох векторів і називається такий вектор , що сполучає початок вектора з кінцем вектора , за умови, що початок вектора співпадає з кінцем вектора (рис.2.3). Пишуть: . Таке означення суми векторів називають «правилом трикутника».

Такий самий вектор можна отримати за «правилом паралелограма», що є наслідком «правила трикутника».

Сумою двох векторів і , приведених до спільного початку , є вектор , що співпадає з діагоналлю паралелограма , побудованого на векторах і (рис. 2.4). Різницею двох векторів і називається сума вектора та вектора .