§ 3. Частинні похідні

Нехай функція визначена в точці і деякому її околі. Надамо приросту лише аргументу , так щоб точка належала вказаному околу. Частинний приріст функції по змінній визначимо формулою: .

Частинною похідною функції назвемо , якщо ця границя існує . Позначають її або .

Аналогічно визначається похідна , а також частинні похідні функції трьох , , і більшої кількості змінних. Оскільки частинна похідна по даній змінній визначається за умови, що значення інших змінних зафіксовані, то для її обчислення використовуються такі ж формули і правила, як і для обчислення похідної функції однієї змінної.

Приклади. Знайти частинні похідні.

1. .

Розв’язання.

.

2. .

Розв’язання.

;

.

§ 4. Диференціал функції двох змінних

Функція називається диференційовною в точці . Якщо її повний приріст у цій точці може бути представлений у вигляді

,

де при .

Теорема 5.3. Якщо функція диференційовна в точці , то вона неперервна в цій точці.

Теорема 5.4. Якщо функція диференційовна в точці , то вона має в цій точці частинні похідні по всім аргументам.

Доведення. Дійсно, .

Аналогічно доводиться, що . Теорему доведено.

Обернене твердження не справджується. Функція може мати частинні похідні в точці , але не бути диференційовною в цій точці.

Теорема 5.5 (достатня умова диференційовності функції). Якщо функція має в точці частинні похідні по всім аргументам і вони неперервні в цій точці, то функція диференційовна в точці .

В теоремі 5.4 доведено, що повний приріст диференційовної функції має вигляд

(5.1)

Диференціалом функції називають головну, лінійну відносно приростів аргументів частину її приросту. Пишуть

. (5.2)

Як бачимо, при малих і , або

. (5.3)

Формулу (5.3) можна використовувати для наближених обчислень по аналогії з тим, як це зроблено для функції однієї змінної (розділ 4, §10).

§ 5 Градієнт і похідна в даному напрямі

Розглянемо функцію трьох змінних , що має частинні похідні у будь-якій точці деякої області . В кожній точці визначимо вектор, координати якого дорівнюють значенням частинних похідних у цій точці. Цей вектор називається градієнтом функції в точці . Пишуть .

Нехай задано вектор . Обчислимо його напрямні косинуси. Маємо . Надамо аргументам функції в точці приростів так, щоб зміститись з точки в точку в напрямі вектора . Знайдемо відповідний приріст функції і довжину вектора . Позначимо через . Границя відношення при називається похідною функції в точці в напрямі вектора . Пишуть .

Теорема 5.6 Похідну функції в точці в напрямі вектора можна обчислити за формулою

, (5.4)

де - напрямні косинуси вектора .

Зауважимо, що з формули (5.4), а також формул (2.2) і (2.4) (розділ 2) випливає твердження: похідна функції в точці в напрямі вектора дорівнює проекції вектора на напрям вектора . Тобто . Як бачимо, набуває найбільшого значення в тому випадку, коли вектор співпадає за напрямом з . Це означає, що швидкість зростання функції в напрямі її градієнта є максимальною і дорівнює модулю градієнта.