§13 Асимптоти графіка функції

Пряма називається асимптотою графіка функції, якщо точка необмежено наближається до цієї прямої, рухаючись по графіку в нескінченність. Розрізняють вертикальні і невертикальні асимптоти. Якщо в точці функція задовольняє хоча б одну з умов або , то пряму називають вертикальною асимптотою графіка цієї функції.

Якщо функція визначена на інтервалі (або ), і існує така пряма , що (або ), то цю пряму називають правою (лівою) невертикальною асимптотою графіка функції.

Теорема 4.18. Рівняння правої (лівої) невертикальної асимптоти графіка функції має вигляд , де ( для лівої асимптоти), якщо ці границі існують і дорівнюють скінченним числам.

Для більш докладного вивчення диференціального числення функцій однієї змінної рекомендуємо скористатися такими підручниками, задачниками та навчальними посібниками: , , , .

Розділ 5. Функції кількох змінних

§ 1. Поняття функції кількох змінних

Якщо будь-якому набору чисел з деякої множини за певним законом поставлено у відповідність одне дійсне число .то кажуть що задано функцію . Множину називають її областю визначення.

Розглянемо докладніше функцію двох змінних . Її область визначення – деяка множина точок площини . Якщо кожній такій точці за формулою поставлено у відповідність аплікату , то отримана множина точок тривимірного простору є графіком цієї функції двох змінних. Отже графік функції - це поверхня, що задана рівнянням (рис. 5.1).

Лінією рівня функції називається множина точок її області визначення , в яких функція набуває одного й того ж значення. Таким чином, лінії рівня задаються рівняннями .

Приклад. Побудувати сімейство ліній рівня функції .

Розв’язання. Область визначення функції або . Отримали круг з центром в точці радіуса . Лінії рівня задаються рівняннями або . Як бачимо, сімейство ліній рівня – система концентричних кіл з центром у початку координат радіуса (рис. 5.2). Якщо кожне з цих кіл підняти на відповідну висоту над площиною , то вони утворять графік заданої функції – верхню половину сфери ( рис. 5.3).

Аналогічно можна розглянути функцію трьох змінних і ввести поняття поверхонь рівня.

§ 2. Границя і неперервність функції двох змінних.

Околом точки називають будь-який круг, що містить в собі цю точку. Зауважимо, що точки граничного кола не належать околу. Задамо сталу. Множину точок називають - околом точки . Як бачимо - окіл точки - множина внутрішніх точок круга радіуса з центром в точці .

Число назвемо границею функції в точці , якщо для будь-якої сталої ,знайдеться така , що для всіх точок з - околу точки (крім, можливо, самої точки ) виконано нерівність . Пишуть так . Можна довести, що мають місце всі властивості границь, аналогічні до тих, які сформульовані в § 2 розділу 4.

Нехай функція визначена в точці і деякому її околі. Функцію називають неперервною в точці , якщо .

Можна дати означення неперервної функції інакше.

Нехай , - прирости аргументів; - приріст функції в точці . Функцію називають неперервною в точці , якщо .

Очевидно, що ці два означення рівносильні. Можна довести, що всі властивості функцій однієї змінної неперервних в точці також справедливі і для функції двох змінних.

Точка називається внутрішньою точкою множини , якщо можна знайти такий окіл цієї точки, який повністю складається з точок множини . Точка називається граничною точкою множини , якщо будь-який її окіл, містить як точки множини так і точки, що їй не належать.

Множина називається відкритою областю, якщо вона складається лише з внутрішніх точок і будь-які дві точки множини можна з’єднати лінією, всі точки якої належать . Якщо до відкритої області приєднати всі її граничні точки, то отримаємо множину , яку будемо називати замкненою областю.

Область (відкрита або замкнена) називається обмеженою, якщо існує така стала , що відстань від будь-якої її точки до початку координат менша за .

Функцію називають неперервною в області, якщо вона неперервна в будь-який точці області.

Теорема 5.1. Якщо функція неперервна у замкненій обмеженій області, то вона досягає свого найбільшого значення і найменшого значення .

Теорема 5.2. Якщо функція неперервна у замкненій обмеженій області , і відповідно найбільше та найменше її значення в цій області, то для будь-якого , в області знайдеться точка , в якій виконується рівність .