§11 Правило Лопіталя

Теорема 4.13. Нехай і . Функції і діфернційовні в деякому околі точки крім, можливо, самої точки , і . Тоді , якщо границя в правій частині рівності існує.

Приклад. Знайти .

Розв’язання. Маємо невизначеність виду . Тоді можна застосувати правило Лопіталя: .

Зауважимо, що

1) правило Лопіталя залишається справедливим і в тому випадку коли і прямують до нескінченності при ;

2) правило Лопіталя справедливе також для односторонніх границь і для границі при .

§11 Ознака монотонності функції.

Будемо казати, що функція , визначена на інтервалі , зростає (спадає) на цьому інтервалі, якщо для будь-яких двох точок , які задовольняють умову , виконується нерівність ( для спадної функції).

Зростаючі (рис.4.3) та спадні (рис 4.4) функції називаються монотонними.

Теорема 4.14 (ознака монотонності функції). Якщо функція має додатну похідну в кожній точці інтервалу , то функція зростає на цьому інтервалі. Якщо функція має від’ємну похідну в кожній точці інтервалу , то функція спадає на цьому інтервалі.

Доведення. Якщо в кожній точці інтервалу , то для будь – яких точок , таких, що за теоремою Лагранжа маємо , . Права частина останньої рівності додатна. Отже, , тобто функція зростає. Достатня умова спадання доводиться аналогічно.

§12 Екстремум функції

Точка з області визначення функції називається точкою максимуму (мінімуму) функції, якщо знайдеться такий окіл точки що для всіх з цього околу виконується нерівність (у випадку точки мінімуму ). Точки максимуму і мінімуму називають точками екстремуму функції.

Теорема 4.15 ( необхідна умова екстремуму). Якщо функція має екстремум в точці , і в цій точці існує похідна , то .

Таким чином, функція може мати екстремум в такій точці, в якій її похідна дорівнює нулю або не існує. Назвемо такі точки критичними.

Теорема 4.16 ( достатня умова екстремуму). Нехай функція неперервна в точці , і ця точка є критичною точкою функції. Тоді

1) якщо в кожній точці деякого інтервалу маємо , а в кожній точці деякого інтервалу виконано ( тобто похідна змінює знак з плюса на мінус), то - точка максимуму;

2) якщо в інтервалі і при ( тобто похідна змінює знак з мінуса на плюс), то - точка мінімуму.

Доведення проводиться по аналогії з доведенням теореми 4.14.

§13 Опуклість і вгнутість графіка функції, точки перегину

Графік функції називають опуклим в точці , якщо існує такий окіл точки , що графік в цьому околі лежить під дотичною, проведеною до нього в точці . На рисунку 4.2 зображено графік функції, який є опуклим в точці з абсцисою . Якщо ж графік в деякому околі точки лежить над дотичною, то він називається вгнутим у цій точці ( рис. 4.1).

Графік функції називають опуклим (вгнутим) на інтервалі , якщо він опуклий ( вгнутий) в кожній точці цього інтервалу. Точка графіка, при переході через яку опуклість змінюється на вгнутість або навпаки, називається точкою перегину.

Теорема 4.17 ( достатня умова опуклості і вгнутості). Якщо в кожній точці інтервалу функція має додатну (від’ємну) похідну другого порядку , то графік функції на цьому інтервалі вгнутий (опуклий).