§11 Відстань від точки до площини

По аналогії з доведенням формули (3.9) можна довести, що відстань від точки до площини обчислюється за формулою

.

Далі пропонуємо студентам самостійно вивчити питання про поверхні другого порядку, використовуючи, наприклад, таку літературу: , , , .

Розділ 4.Вступ до математичного аналізу. Диференціальне числення функції однієї змінної.

§1 Функція однієї змінної. Елементарна функція

Якщо будь-якому числу з деякої множини поставлено у відповідність певне число , то кажуть, що задано функцію . Множину називають областю визначення функції, - аргументом функції, або незалежною змінною, - значенням функції, - областю значень. Функцію можна задати різними способами, зокрема формулою. Наприклад, . Такий спосіб задання функції називається аналітичним.

Основними елементарними функціями називаються такі аналітично задані функції:

1) , - степенева;

2) , - показникова;

3) , - логарифмічна;

4) - тригонометричні;

5) - обернені тригонометричні.

Елементарною функцією називається функція, яка задана аналітично однією рівністю , утвореною з основних елементарних функцій і сталих за допомогою арифметичних дій та взяття функції від функції. Наприклад: .

§2 Границя функції

Околом точки називають будь-який інтервал , що містить в собі цю точку. Нехай . Інтервал називають - околом точки (пишуть ).

Число називається границею функції в точці , якщо для будь-якої сталої , знайдеться така , що для будь-якого з - околу точки (крім, можливо, самої точки ) виконано нерівність . Записують так .

Сформулюємо основні властивості границь, що випливають з цього означення.

Властивість 1. Нехай існують і . Тоді існує , при цьому .

Твердження справедливе для будь-якої скінченної кількості доданків.

Властивість 2. Якщо існують і , то існує і , при цьому . Твердження справедливе для будь-якої скінченної кількості множників.

Наслідком властивості 2 є твердження: сталий множник можна виносити за знак границі

.

Властивість 3. Якщо існують , , і , то існує і , при цьому .

Властивість 4. Якщо всюди в (крім, можливо, самої точки ) виконується нерівність і існують і , то .

Дамо означення границі функції на нескінченності. Будемо казати, що , якщо для будь-якої сталої , знайдеться така , що для будь-якого , що задовольняє нерівність , виконано: .

Приклад. Довести, що .

Розв’язання. Задамо і знайдемо таке , що для всіх ,що задовольняють нерівність , виконано: . Як бачимо, . Граничну рівність доведено.

В означенні границі функції на нескінченності зробимо заміну змінної за формулою . Одержимо . Таким чином, границю функції на нескінченності зведено до границі іншої функції у точці . Тоді всі властивості границь справедливі і для .

§3 Неперервність функції

Функцію називають неперервною у точці , якщо вона визначена в цій точці та деякому її околі і . Тобто, якщо для будь-якого знайдеться таке, що з нерівності випливає .

Різницю назвемо приростом аргументу, а - приростом функції. Таким чином, функція є неперервною в точці , якщо її приріст в цій точці прямує до нуля, коли приріст аргументу , тобто .

Сформулюємо властивості функцій неперервних в точці, які випливають з властивості границь і означення неперервної функції.

Властивість 1. Якщо функції і неперервні у точці , то

а) функція неперервна у точці ;

б) функція неперервна у точці ;

в) функція неперервна у точці за умови, що .

Властивість 2. Якщо , функція неперервні у точці , то .

Тобто знак границі і знак неперервної функції можна поміняти місцями.

Властивість 3. Якщо функція неперервна у точці , а функція неперервна у точці , то складена функція неперервна у точці .

Властивість 4. Будь-яка елементарна функція неперервна у кожній точці своєї області визначення.

Функцію називають неперервною на відрізку , якщо вона неперервна в кожній точці цього відрізка. Властивості неперервних на відрізку функцій виражають наступні теореми.

Теорема 4.1 (Вейєрштрасса). Якщо функція неперервна на відрізку, то вона досягає на цьому відрізку свого найбільшого значення і найменшого значення .

Теорема 4.2 Нехай функція неперервна на відрізку , -найбільше, - найменше її значення на цьому відрізку. Тоді для будь-якого числа знайдеться така точка в якій функція набуває цього значення .