Тема 2. Мощность множества

1. Понятие мощности

Рассмотрим множество всех молекул в земной атмосфере. Это множество содержит очень большое число элементов (примерно 1.03∙10¹¹), но оно конечное, т.е. существует такая константа, которая больше числа элементов этого множества. Помимо конечных, существуют бесконечные множества. Одной из задач теории множеств является определение числа элементов множества и исследование вопроса о сравнении друг с другом двух множеств по количеству элементов.

Для конечных множеств самой разной природы эта задача легко решается непосредственным подсчетом. Для бесконечных множеств вопрос о их сравнении по количеству элементов невозможно решить, как для конечных, с помощью подсчета. Поэтому Кантор предложил для сравнения двух бесконечных множеств установить между ними взаимно однозначное (биективное) отображение. Напоминаем, что множества, между которыми можно установить биективное отображение называются эквивалентными. Рассмотрим примеры установления такого отображения.

Пример 1. В качестве множества А рассмотрим интервал на числовой прямой, пусть А = (–1, 1), а в качестве множества В – множество действительных чисел R. Эти множества эквивалентны, т.к отображение f(x) = tg(x/2), хА позволяет установить между ними искомое взаимно однозначное соответствие.

Пример 2. Пусть А = [–1, 1], В = (–1, 1). Строим отображение f : A  B по следующему правилу: выделим в А последовательность –1, 1, 1/2, 1/3, 1/4, . . . , 1/n и положим f(–1) = 1/2, f(1) = 1/3, f(1/2) = 1/4, f(1/3)=1/5, т.е. f(1/n) = 1/(n+2), а все точки, не входящие в эту последовательность отобразим сами в себя, т.е. f(x) = х. Следовательно, открытый и замкнутый интервалы эквивалентны.

Мощность множества является обобщением понятия числа элементов множества. Если взаимно однозначное отображение множеств установлено, значит, по определению, в обоих множествах “одинаковое” число элементов или мощность одного множества равна мощности другого множества.

Мощность – это то общее, что есть у любых двух эквивалентных множеств. Мощность множества A обозначается m(A) или |A|. Таким образом, m(A) = m(B), если A ~ B.

Если множество A эквивалентно какому-либо подмножеству множества B, то мощность A не больше мощности B (т.е. m(A)  m(B)). Если при этом множество B не эквивалентно никакому подмножеству множества A, то m(A) < m(B).

Особое место среди бесконечных множеств является множество натуральных чисел  N.

Def. Назовем счетным всякое множество, эквивалентное множеству  N. Другими словами, счетным называется всякое множество, элементы которого можно перенумеровать или составить из них бесконечную последовательность.

Примеры счетных множеств.

1. Множество целых чисел Z={0, 1, 2, . . .}. Построим из его элементов последовательность: a₁ = 0; a₂= – 1; a₃ = 1; a₄ = –2; a₅ = 2;... Формулу для вычисления ее общего члена можно записать в виде

2. Множество Q всех рациональных чисел.

Докажем счетность этого множества. Как известно, рациональные числа – это дроби вида p/q, где pZ, qN.

Запишем их в виде таблицы из бесконечного числа строк и столбцов

0/1 1/1 2/1 3/1 . . .

–1/1 –2/1 –3/1 –4/1 . . .

1/2 2/2 3/2 4/2 . . .

–1/2 –2/2 –3/2 –4/2 . . .

. . . . . . . . . . . . .

Обозначим это множество – А. Из ее элементов построим последовательность по следующему правилу a₁=0/1; a₂=1/1; a₃= –1/1; a₄=1/2; a₅= –2/1; a₆=2/1 и т.д. Очевидно, в эту последовательность войдут все рациональные числа. Более того, в ней многие числа будут повторяться. Следовательно, m(Q) ≤ m(A).

С другой стороны, эта последовательность эквивалентна натуральному ряду, т.е. подмножеству множества Q, а значит, m(A) = m(N) ≤ m(Q). Следовательно, m(Q)  m(N) и m(N) ≤ m(Q), а, значит, мощности множеств рациональных чисел и натурального ряда равны, т.е. множество рациональных чисел счетно.

Бесконечное множество не являющееся счетным называется несчетным.