Раздел I. Теория множеств

Литература

1. Новиков, Ф.А, Дискретная математика для программистов. – Санкт-Петербург: Питер, 2007. – 304 с.

2. Белоусов, А.И. Дискретная математика. – М.: МГТУ им. Баумана, 2009.

3. Кузнецов, О.П. Дискретная математика для инженеров: [учебник для вузов] (гриф Пр. — 5-е изд., стер. — СПб. : Лань, 2007.— 400 с.

4. Яблонский, С.В. Введение в дискретную математику: Учебное пособие для Вузов/ Под ред. В.А. Садовничего – 3-е изд. стер. – М.: Высш. шк., 2006. – 384 с.

5. Гаврилов А.И., Сапоженко С.В. Задачи и упражнения по курсу дискретной математики. - М.: Наука, 1992. - 408 с.

6. Лавров И.А., Максимова Л.Л. Задачи по теории множеств, математической логике и теории алгоритмов. - М.: Наука, 1984. - 223 с.

7. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. - М.: Наука, 1981. - 544 с.

8. Соминский И.С. Метод математической индукции.- М.: Наука, 1974.- 63 с.

9. Виленкин Н.Я. Рассказы о множествах. М.: Наука, 1965. - 128 с.

Теория множеств составляет основу современной математики. Необходимость ее изучения вытекает из следующих соображений:

1. Теория множеств имеет дело с самыми общими (абстрактными) математическими понятиями, такими, как множества и их элементы, причем не имеет значения, какие именно предметы сдержатся в множестве. Поэтому теоремы, доказанные в рамках теории множеств будут иметь универсальный характер.

2. Символы и выражения теории множеств составляют универсальный язык математики.

Тема 1. Основные понятия теории множеств

1. Множества и их элементы

Для множества не существует строгого определения, поэтому введем описательные понятия множества и его элементов.

Множеством называется совокупность некоторых предметов, объединенных общим признаком. Элементы множества - это те предметы, из которых состоит множество.

Пусть имеется множество А, элементом которого является предмет а, это записывается как А={а}. Например, В={1, 2, 3}.

Если какой-то элемент а принадлежит множеству А, то это обозначается аА, а если b не принадлежит А, то - bА. Например, пусть А - множество четных натуральных чисел, тогда 6А, а 3А.

Пусть имеется два множества А и В, причем все элементы множества А принадлежат множеству В, т.е. если хА, то хB. В этом случае говорят, что множество А включено в множество В или является подмножеством множества В. Обозначается: АВ ( - символ нестрогого включения, т.е. возможно совпадение множеств). Множество А совпадает с множеством В (А = В), если все элементы множества В являются элементами множества В и все элементы множества В являются элементами множества А. Это можно записать в виде

(АВ и ВА) <=> (А = В).

Множество А строго включено в множество В, если все элементы множества А принадлежат множеству В, но не все элементы множества В принадлежат множеству А.

Пример: А = { 1, 2, 3 }, В = { 0, 1, 2, 3 }, АВ.

Возможны два способа задания множества.

1. Перечислением элементов, т.е. в фигурных скобках дается полное перечисление элементов данного множества. Например, N= {1,2,...,n,...} - множество натуральных чисел.

2. С помощью указания характерного свойства (указание свойства, которым обладают только элементы данного множества). Символически это записывается в виде A={x | P(x)} и читается - A есть множество всех элементов х, обладающих свойством P(x).

При задании множества вторым способом возможны различные противоречия и парадоксы. Рассмотрим примеры таких парадоксов.

1) Парадокс парикмахера: в городе жил парикмахер, который брил всех, кто не брился сам. Кто же брил парикмахера?

2) Пусть имеем натуральное число 11218321 - одиннадцать миллионов двести восемнадцать тысяч триста двадцать один. Это число можно описать с помощью восьми слов. Пусть А - множество натуральных чисел, которые нельзя определить с помощью фразы, имеющей меньше 20 русских слов. Обозначим а_min - наименьшее число из множества А, причем а_minA. Число а_min можно определить следующим образом: наименьшее натуральное число, которое нельзя определить с помощью фразы, имеющей менее двадцати слов. В этой фразе 14 слов. Значит, а_min можно определить с помощью фразы, содержащей менее 20 слов.

Тогда получается, что а_min А.

К настоящему времени накопилось много подобных примеров, когда определение множества оказывалось внутренне противоречиво. Выяснение условий, при которых это может иметь место, потребовало специальных исследований, составивших предмет математической логики и выходящих за рамки собственно теории множеств. Поэтому, в данном пособии мы не станем касаться спорных случаев, и будем рассматривать лишь множества, которые определяются точно и без противоречий.

В теории множеств имеется специальное множество, называемое пустым множеством (), которое не содержит ни одного элемента. Пустое множество по определению содержится в любом множестве А (А). Это понятие вводится из следующих соображений. Задавая множество вторым способом не всегда заранее можно быть уверенным, существуют ли элементы, ему принадлежащие. Например, можно говорить о множестве четырехугольников на плоскости, у которых все углы прямые, а диагонали не равны. Только знания основ геометрии позволяют убедиться, что таких четырехугольников не существует и, следовательно, это множество пусто.

Множество, содержащее произвольное множество, которое называют универсальным множеством U, т.е. для любого множества А, отличного от универсального, верно включение А U.

Большинство утверждений теории множеств связано с равенством двух множеств и включением одного множества в другое. Поэтому надо детально разобраться в методах доказательства этих фактов.

1. Доказательство включения АВ. Для этого нужно доказать, что любой элемент x, принадлежащий множеству А одновременно является элементом множества В, т.е.

(x  А)  => (x  В).

2. Доказательство равенства А = В.

Оно сводится к доказательству двух включений АВ и ВА.

Пример 1. Докажем следующую теорему. Для любых множеств А, В и С выполняется закон транзитивности нестрогого включения, т.е. если АВ и ВС, то из этого следует, что АС.

Доказательство. Пусть x - любой элемент множества А, (xА), тогда в силу условия АВ, по определению нестрогого включения, элемент х принадлежит множеству В (хB). После доказательства этого факта, аналогично, используя условие ВС можно доказать, что х принадлежит С (хС).

В качестве исходного допущения мы приняли, что x – любой элемент из А. Из этого допущения при выполнении условий а) и б) получено следствие хС. По определению нестрогого включения это означает АС, что и требовалось доказать.

Пример 2. Пусть А={1,6}, В ={х | х²-7х+6=0}. Последнее читается как, В является множеством элементов х, для которых выполняется условие х² - 7х + 6 = 0. Включение АВ доказывается подстановкой элементов множества А в это условие. Для доказательства обратного включения ВА нужно найти все корни уравнения и убедиться, что они равны 1 и 6, т.е. принадлежат А. Выполнение обоих нестрогих включений означает равенство множеств А и В.