Обробка результатів при прямих вимірах

1. Нехай - результати послідовних вимірів однієї фізичної величини. (Зазвичай, достатньо зробити вимірювання 3÷5 разів.) Якщо хоча б один із результатів суттєво відрізняється від інших, то, можливо, при вимірюваннях виникла груба помилка. Необхідно виконати додатковий вимір або відкинути даний результат вимірювання.

За найбільш достовірне приймається середнє значення результатів вимірювання:

2. Абсолютною похибкою називають взяту за модулем різницю між середнім значенням і результатом вимірювання :

.

Знаходимо абсолютні похибки окремих вимірів:

,

,

……..……..

.

3. Середня абсолютна похибка знаходиться як середнє значення абсолютних похибок окремих вимірів:

.

4. Результат вимірювання записується у наступному вигляді:

.

Цей запис означає, що найбільш імовірно істинне значення знаходиться в інтервалі: .

5. Для оцінки точності вимірювання фізичних величин обчислюють відносну похибку Е за формулою:

.

Відносна похибка показує яка похибка (у відсотках) припадає на кожну одиницю величини, що вимірюється.

6. Остаточний результат повинен подаватися у наступному вигляді:

, .

Приклад

Вимірювання діаметра кульки проводилося 5 разів за допомогою мікрометра, абсолютна похибка якого . Результати вимірювання діаметра кульки: , , , , .

1. Середнє значення діаметра кульки:

.

2. Абсолютні похибки вимірів:

мм

мм

мм

мм

мм.

3. Середня абсолютна похибка:

.

4. Оскільки середня абсолютна похибка більше за похибку мікрометра, то результат вимірювання дорівнює:

Якби середня абсолютна похибка дорівнювала б нулю або була б меншою за похибку вимірювального приладу, то тоді за середню абсолютну похибку приймається похибка (точність) приладу.

5. Відносна похибка виміру діаметра кульки:

6. Результат вимірювання записується у вигляді:

.

Обробка результатів непрямих вимірів

Розглянемо послідовність вимірів і обробки результатів вимірювання на конкретному прикладі. Нехай потрібно визначити густину невеликого металевого циліндра (рис.1.3):

Рис. 1.3

Густина матеріалу , з якого виготовлений циліндр, обчислюється за формулою:

,

де - маса, а - об’єм циліндра.

Якщо - висота, а - діаметр циліндра, то його об’єм:

.

Отже, основна розрахункова формула для визначення густини:

. (1)

Послідовність визначення густини може бути наступною.

Виконуються прямі виміри маси , діаметра і висоти циліндра за методикою, розглянутою в 1.2. Наприклад, маса вимірюється 3-5 разів за допомогою терезів. За результатами вимірювань і подальшої їх обробки отримують значення маси , де - середнє значення маси, а - середня абсолютна похибка визначення маси.

Використовуючи штангенциркуль (або мікрометр) аналогічно проводять вимірювання і отримують значення діаметра і висоти , де , - відповідні середні значення, а і - відповідні середні абсолютні похибки.

Після цього починають послідовність обрахунків густини і відповідних похибок, яку називають обробкою результатів при непрямих вимірах.

1. За розрахунковою формулою визначається середнє значення густини:

.

2. Слід звернути увагу, що в формулу для непрямого визначення густини підставляються величини, що знайдені при прямих вимірах ( ). Тому похибка непрямого виміру повинна знаходитися через похибки прямих вимірів.

Використовуючи математичний апарат диференціального обчислення, можна показати, що при непрямих вимірах зручніше спочатку знайти відносну похибку: , а потім обчислити середню абсолютну похибку .

Виявляється, що відносна похибка результату дорівнює повному диференціалу натурального логарифма функції, яка визначає залежність даної величини від виміряних величин.

Тому відносну похибку слід обчислювати в такій послідовності:

а) прологарифмувати розрахункову формулу:

.

б) знайти повний диференціал логарифма :

. (2)

в) диференціали в отриманому виразі замінити середніми абсолютними похибками : , , , а величини середніми значеннями

В самому несприятливому випадку всі похибки виміряних величин відхиляються в один бік. При цьому результуюча похибка стає найбільшою з можливих. Хоча це і малоймовірний випадок, але надійність результату буде максимальною. Тому знаки « – » у формулі (2) замінюємо на « + ».

Враховуючи вище сказане, найбільшу відносну похибку вимірювання густини можна знайти за формулою:

.

3) Середню абсолютну похибку можна знайти після обчислення відносної похибки за формулою:

.

4. Результат вимірювання записується у вигляді:

, .